A partir de cada tábua abaixo
a)
b)
Verifique se:
(i) A operação é comutativa?
(ii) Existe elemento neutro?
(iii) Que elementos são simetrizáveis?
(iv) Que elementos são regulares?
a)
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(ii) Existe elemento neutro?
(iii) Que elementos são simetrizáveis?
(iv) Que elementos são regulares?
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das duas tábuas de operação sobre o conjunto {a,b,c,d}, que verifiquemos: (i) comutatividade; (ii) existência de elemento neutro; (iii) elementos simetrizáveis (invertíveis); (iv) elementos regulares (que satisfazem cancelamento). Vamos usar definições básicas de operação binária e examinar entradas das tábuas.
Passo 2
Para a tábua (a) verificamos comutatividade. A operação é comutativa se, para todo par x,y, valer
. Basta checar se a tabela é simétrica em relação à diagonal principal. Conferindo entradas correspondentes (por exemplo, linha a,coluna c = a e linha c,coluna a = a, etc.), vemos que todas coincidem. Logo, (a) é comutativa.
Passo 3
Ainda na tábua (a), buscamos elemento neutro
tal que
e
para todo x. Procurando a linha e a coluna que reproduzem
em ordem, vemos que a linha e coluna de c são
. Assim, o neutro é c.
Passo 4
Para encontrar elementos simetrizáveis (invertíveis) em (a), tomamos o neutro
e, para cada x, achamos y com
e
. Observamos pela tabela que
,
,
e
. Todos têm inverso (eles mesmos), logo todos são simetrizáveis.
Passo 5
Um elemento é regular se satisfaz cancelamento à esquerda e à direita. Em estruturas finitas isso equivale a sua linha e sua coluna na tábua apresentarem todos os valores distintos (injeção). Na tábua (a) cada linha e cada coluna trazem
exatamente uma vez. Então todos os quatro elementos são regulares.
Passo 6
Para a tábua (b) fazemos o mesmo: checamos comutatividade comparando posições simétricas. Logo, vemos que, por exemplo, linha a,coluna c = d, mas linha c,coluna a = b, são diferentes. Portanto (b) não é comutativa.
Passo 7
Ainda em (b), buscamos o neutro: é o elemento cuja linha e coluna reproduzem
. A linha de b é
e a coluna de b também é
. Logo, o neutro em (b) é b.
Passo 8
Para simetrizáveis em (b), tomamos neutro
e, para cada x, verificamos se existe y com
e
. Só b satisfaz trivialmente
. Nenhum outro x tem y que funcione nos dois lados. Assim, apenas b é simetrizável.
Passo 9
Finalmente, checamos regularidade em (b) via injeção de linhas e colunas. As linhas de a, b e c têm valores distintos, mas a linha de d repete d duas vezes. Nas colunas, a, b e d são injetoras, mas a coluna c repete d. Então apenas a e b têm linha e coluna injetoras. Portanto, a e b são regulares.
Resposta
a) (i) comutativa; (ii) neutro: c; (iii) simetrizáveis: {a,b,c,d}; (iv) regulares: {a,b,c,d}. b) (i) não comutativa; (ii) neutro: b; (iii) simetrizáveis: {b}; (iv) regulares: {a,b}.