A partir de cada tábua abaixo
a)
|c|c|c|c|c| hline & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ hline$a$ & $c$ & $d$ & $a$ & $b$ hline$b$ & $d$ & $c$ & $b$ & $a$ hline$c$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ hline$d$ & $b$ & $a$ & $d$ & $c$ hline |c|c|c|c|c| hline & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ hline$a$ & $c$ & $a$ & $d$ & $b$ hline$b$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ hline$c$ & $b$ & $c$ & $d$ & $a$ hline$d$ & $d$ & $d$ & $a$ & $c$ hline
b)

Verifique se:

(i) A operação é comutativa?
(ii) Existe elemento neutro?
(iii) Que elementos são simetrizáveis?
(iv) Que elementos são regulares?

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das duas tábuas de operação sobre o conjunto {a,b,c,d}, que verifiquemos: (i) comutatividade; (ii) existência de elemento neutro; (iii) elementos simetrizáveis (invertíveis); (iv) elementos regulares (que satisfazem cancelamento). Vamos usar definições básicas de operação binária e examinar entradas das tábuas.

Passo 2

Para a tábua (a) verificamos comutatividade. A operação é comutativa se, para todo par x,y, valer x*y=y*x. Basta checar se a tabela é simétrica em relação à diagonal principal. Conferindo entradas correspondentes (por exemplo, linha a,coluna c = a e linha c,coluna a = a, etc.), vemos que todas coincidem. Logo, (a) é comutativa.

Passo 3

Ainda na tábua (a), buscamos elemento neutro e tal que e*x=x e x*e=x para todo x. Procurando a linha e a coluna que reproduzem a,b,c,d em ordem, vemos que a linha e coluna de c são (a,b,c,d). Assim, o neutro é c.

Passo 4

Para encontrar elementos simetrizáveis (invertíveis) em (a), tomamos o neutro e=c e, para cada x, achamos y com x*y=e e y*x=e. Observamos pela tabela que a*a=c, b*b=c, d*d=c e c*c=c. Todos têm inverso (eles mesmos), logo todos são simetrizáveis.

Passo 5

Um elemento é regular se satisfaz cancelamento à esquerda e à direita. Em estruturas finitas isso equivale a sua linha e sua coluna na tábua apresentarem todos os valores distintos (injeção). Na tábua (a) cada linha e cada coluna trazem a,b,c,d exatamente uma vez. Então todos os quatro elementos são regulares.

Passo 6

Para a tábua (b) fazemos o mesmo: checamos comutatividade comparando posições simétricas. Logo, vemos que, por exemplo, linha a,coluna c = d, mas linha c,coluna a = b, são diferentes. Portanto (b) não é comutativa.

Passo 7

Ainda em (b), buscamos o neutro: é o elemento cuja linha e coluna reproduzem (a,b,c,d). A linha de b é (a,b,c,d) e a coluna de b também é (a,b,c,d). Logo, o neutro em (b) é b.

Passo 8

Para simetrizáveis em (b), tomamos neutro e=b e, para cada x, verificamos se existe y com x*y=b e y*x=b. Só b satisfaz trivialmente b*b=b. Nenhum outro x tem y que funcione nos dois lados. Assim, apenas b é simetrizável.

Passo 9

Finalmente, checamos regularidade em (b) via injeção de linhas e colunas. As linhas de a, b e c têm valores distintos, mas a linha de d repete d duas vezes. Nas colunas, a, b e d são injetoras, mas a coluna c repete d. Então apenas a e b têm linha e coluna injetoras. Portanto, a e b são regulares.

Resposta

a) (i) comutativa; (ii) neutro: c; (iii) simetrizáveis: {a,b,c,d}; (iv) regulares: {a,b,c,d}. b) (i) não comutativa; (ii) neutro: b; (iii) simetrizáveis: {b}; (iv) regulares: {a,b}.

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