Construa a tábua de uma operação * sobre o conjunto E=a, b, c, d de modo que satisfaça às seguintes condições:
(i) * é comutativa
(ii) a é o elemento neutro
(iii) todos os elementos de E são simetrizáveis
(iv) todos os elementos de E são regulares
(v) $b * c=a

Passo 1

O enunciado pede para construir a tabela da operação * no conjunto E=a,b,c,d satisfazendo: comutatividade, identidade a, todo elemento tem inverso (simetrizável) e a operação admite cancelamento (regular), além de b*c=a. O conteúdo envolvido é a teoria de grupos abelianos finitos, onde identidade é a e cada elemento deve ter inverso.

Passo 2

Num conjunto finito, comutativa, identidade e inversos para todos caracterizam um grupo abeliano finito. Há só dois grupos abelianos de ordem 4: o grupo cíclico Z4 e o grupo de Klein V4.

Passo 3

No grupo de Klein V4, todo elemento não-identity tem ordem 2, logo cada elemento é seu próprio inverso. Isso forçaria b=c para ter b*c=a, o que contradiz a distinção entre b e c.

Passo 4

Logo, escolhemos o grupo cíclico Z4. Identificamos: arightarrow0, brightarrow1, drightarrow2, crightarrow3. A operação é soma módulo 4.

Passo 5

Basta então montar a tabela da soma em Z4 e reescrever em termos de a,b,c,d.

Resposta

A tabela de * em formato de matriz é:
c|cccc * & a & b & c & d hline a & a & b & c & d b & b & d & a & c c & c & a & d & b d & d & c & b & a

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