Construa a tábua de uma operação
sobre o conjunto
de modo que satisfaça às seguintes condições:
(i)
é comutativa
(ii)
é o elemento neutro
(iii) todos os elementos de
são simetrizáveis
(iv) todos os elementos de
são regulares
(v) $b * c=a
(i)
(ii)
(iii) todos os elementos de
(iv) todos os elementos de
(v) $b * c=a
Passo 1
O enunciado pede para construir a tabela da operação
no conjunto
satisfazendo: comutatividade, identidade
, todo elemento tem inverso (simetrizável) e a operação admite cancelamento (regular), além de
. O conteúdo envolvido é a teoria de grupos abelianos finitos, onde identidade é
e cada elemento deve ter inverso.
Passo 2
Num conjunto finito, comutativa, identidade e inversos para todos caracterizam um grupo abeliano finito. Há só dois grupos abelianos de ordem 4: o grupo cíclico
e o grupo de Klein
.
Passo 3
No grupo de Klein
, todo elemento não-identity tem ordem 2, logo cada elemento é seu próprio inverso. Isso forçaria
para ter
, o que contradiz a distinção entre
e
.
Passo 4
Logo, escolhemos o grupo cíclico
. Identificamos:
,
,
,
. A operação é soma módulo 4.
Passo 5
Basta então montar a tabela da soma em
e reescrever em termos de
.
Resposta
A tabela de
em formato de matriz é: