Calcule
lim x pi cos (x)-cos (pi)x-pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de da função . Esse tipo de problema está relacionado a derivadas na matemática, mais especificamente ao cálculo do derivado de uma função em um ponto. Para resolver, vamos usar a definição de derivada e algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função f'(a) = limx a f(x) - f(a)x - a em um ponto é definida como:
Observa-se que o limite que queremos calcular tem a mesma estrutura da definição da derivada, onde e .

Passo 3

Então, identificando na definição:
f(x) = cos(x) e a = pi
Portanto, a derivada de f'(pi) = limx pi cos(x) - cos(pi)x - pi em é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de f'(x) = -sin(x) . Sabemos que:
f'(pi) = -sin(pi)
Então, para :

Passo 5

Sabemos que f'(pi) = -0 = 0 . Substituindo na expressão da derivada:

Resposta

O limite é igual a .

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