Calcule:
lim x pi2-(sen x)^tg x.

Passo 1

O enunciado pede a seguinte limte:
limxtopi2^-(sin x)^tan x
Este é um caso de indeterminação do tipo 1^infty. Para resolver, vamos reescrever a expressão na forma exponencial e estudar o comportamento do expoente conforme xtopi2^-.

Passo 2

Definimos
y = (sin x)^tan x
Então
ln y = tan x ,lnl(sin xr)
O objetivo agora é calcular
limxtopi2^- ln y = limxtopi2^- l[tan x ,ln(sin x)r]

Passo 3

Faça a troca de variável
h = pi2 - x,
de modo que hto0^+ quando xtopi2^-. Então
sin x = sinl(tfracpi2 - hr) = cos h, tan x = tanl(tfracpi2 - hr) = cot h = cos hsin h
Para h pequeno, usamos as expansões:
cos h = 1 - h^22 + o(h^2), sin h = h + o(h)

Passo 4

Com essas expansões,
sin x = 1 - h^22 + o(h^2), tan x = 1 + o(1)h
Logo,
ln(sin x) = lnl(1 - tfrach^22 + o(h^2)r) = -h^22 + o(h^2)
Multiplicando,
tan x;ln(sin x) ;=; 1+o(1)h;l(-tfrach^22 + o(h^2)r) = -h2 + o(h)
Como hto0, isso tende a 0.

Passo 5

Concluímos que
limxtopi2^- ln y = 0,
portanto
limxtopi2^- y = e^0 = 1

Resposta

1

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