Em cada caso, verifique que as funções dadas são soluções LI da edo indicada e determine a solução geral.
y1(x)=e^x e y2(x)=x e^-x; y^(5)-y^(4)-2 y^prime prime prime+2 y^prime prime+y^prime-y=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de ordem 5 com coeficientes constantes
y^(5) - y^(4) - 2y''' + 2y'' + y' - y = 0
e as funções y1(x)=e^x e y2(x)=x e^-x. Vamos verificar que cada uma é solução, mostrar que são linearmente independentes e, em seguida, obter a solução geral via polinômio característico.

Passo 2

Verificação de que y1(x)=e^x satisfaz a EDO. Calculamos as derivadas:
y1' = e^x, y1''=e^x, y1'''=e^x, y1^(4)=e^x, y1^(5)=e^x
Substituindo em L[y]=y^(5) - y^(4) - 2y''' + 2y'' + y' - y obtemos
e^x - e^x - 2e^x + 2e^x + e^x - e^x = 0,
logo y1 é solução da EDO.

Passo 3

Verificação de que y2(x)=x e^-x satisfaz a EDO. Calculamos
y2 = x e^-x, y2'=(1-x)e^-x, y2''=(x-2)e^-x,
y2'''=(3-x)e^-x, y2^(4)=(x-4)e^-x, y2^(5)=(5-x)e^-x
Substituindo em L[y] e fatorando e^-x, verifica-se que todos os termos se cancelam, resultando em zero. Portanto y2 também é solução.

Passo 4

Verificação de que y1 e y2 são linearmente independentes (LI). O Wronskiano é
W(y1,y2)(x)= e^x & x e^-x e^x & (1-x)e^-x =e^x,(1-x)e^-x-e^xcdot x e^-x=1-2x,
que não é identicamente zero. Logo y1 e y2 são LI.

Passo 5

Determinação da solução geral. Formamos o polinômio característico
r^5 - r^4 - 2r^3 + 2r^2 + r -1=0
Fatorando por agrupamento:
r^5 - r^4 -2r^3 +2r^2 +r -1=(r-1)(r^4 -2r^2 +1)=(r-1)(r^2-1)^2=(r-1)^3(r+1)^2
As raízes são r=1 (multiplicidade 3) e r=-1 (multiplicidade 2). Portanto a base de soluções da EDO é
e^x, x e^x, x^2e^x, e^-x, x e^-x,
e a solução geral é a combinação linear desses cinco termos.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1e^x + C2,x e^x + C3,x^2e^x + C4e^-x + C5,x e^-x,
onde C1,dots,C5 são constantes arbitrárias.

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