Calcule:
lim x p|x|, p in R

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto p|x|,
com pinR. Vamos usar o conceito de limite e a definição do valor absoluto.

Passo 2

Definimos o valor absoluto em forma por partes:
|x| = x, & x >= 0, -,x, & x < 0

Passo 3

Se p>0, existe um intervalo ao redor de p em que x>0, logo |x|=x. Assim
limxto p|x| = limxto px = p = |p|

Passo 4

Se p<0, existe um intervalo ao redor de p em que x<0, logo |x|=-x. Assim
limxto p|x| = limxto p(-x) = -p = |p|

Passo 5

Se p=0, calculamos os limites laterais:
limxto0^+|x| = limxto0^+x = 0, limxto0^-|x| = limxto0^-(-x) = 0
Como coincidem, limxto0|x|=0=|0|.

Resposta

|p|

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