Determine a derivada da função. Apresente os cálculos para resolução.
f(x)=tg^-1(x)

Passo 1

Estamos com a função f(x)=tg^-1(x), isto é, f(x)=arctan(x). O objetivo é encontrar f'(x). Para isso, vamos usar diferenciação implícita aplicando a relação entre uma função inversa e sua derivada.

Passo 2

Defina y = arctan(x). Por definição de inversa, isso implica
x = tan(y)
Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa igualdade em relação a x,
ddxl(xr) = ddxl(tan(y)r)
No lado esquerdo temos 1. No lado direito, como y depende de x, aplicamos a regra da cadeia:
1 = sec^2(y),dydx

Passo 3

Isolando dydx, obtemos
dydx = 1sec^2(y)
Como sec^2(y)=1+tan^2(y), isso nos dá
dydx = 11+tan^2(y)

Passo 4

Voltamos ao fato de que tan(y)=x. Substituindo na expressão acima,
dydx = 11 + x^2
Como y = f(x), isso é exatamente f'(x).

Resposta

A derivada de f(x)=tg^-1(x) é
f'(x) = 11 + x^2

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