Calcule lim x 0 raiz[3]1+3 x-1x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0raiz[3]1+3x-1x
Esse tipo de limite é exatamente a definição de derivada de uma função na origem. Aqui vamos usar a função
f(x)=raiz[3]1+3x=(1+3x)^tfrac13
e reconhecer que
limxto0f(x)-f(0)x
é f'(0).

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada
f'(x)=ddx(1+3x)^tfrac13 =tfrac13(1+3x)^-tfrac23cdot 3 =(1+3x)^-tfrac23

Passo 3

Para obter o limite, avaliamos f'(x) em x=0:
f'(0)=(1+3cdot0)^-tfrac23=1^-tfrac23=1

Resposta

1

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