Sejam f1: R^n times R^n R, f2: R^n R e f3: R^2 times R^2 R dadas por
f1(u, v)=lang<= u, vrang<=, f2(u)=|u|^2, f3(A1, A2)=det(A1, A2),
em que ( A1, A2 ) é a matriz 2 times 2 cujas linhas são A1 e A2. Calcule
d f1(a, b)(u, v), d f2(a)(u) e d f3(A1, A2)(B1, B2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as diferenciais de três funções lisas:
  1. f1(u,v)=lang<= u,vrang<=, que é bilinear em (u,v);
  2. f2(u)=|u|^2=lang<= u,urang<=, cujo gradiente é fácil de achar;
  3. f3(A1,A2)=det(A1,A2), vista como função das duas linhas A1,A2 de uma matriz 2times2.
    Para cada caso vamos usar o conceito de diferencial como derivada direcional:
d f(p)[h]=limtto0f(p+t,h)-f(p)t

Passo 2

Para f1(u,v)=lang<= u,vrang<= note que, ao variar (u,v) em (a+tu,;b+tv),
f1(a+tu,b+tv) =lang<= a+tu,b+tvrang<= =lang<= a,brang<= +tl(lang<= u,brang<=+lang<= a,vrang<=r) +o(t)
Logo a diferencial em (a,b) aplicada a (u,v) é
d f1(a,b)(u,v)=lang<= u,brang<=+lang<= a,vrang<=

Passo 3

Para f2(u)=|u|^2=lang<= u,urang<=, ao variar u em a+tu,
f2(a+tu) =lang<= a+tu,a+turang<= =|a|^2+2tlang<= a,urang<=+o(t)
Portanto
d f2(a)(u)=2lang<= a,urang<=

Passo 4

Para f3(A1,A2)=det(A1,A2), considere
detl(A1+tB1,,A2+tB2r) =det(A1,A2) +tl[det(B1,A2)+det(A1,B2)r] +o(t)
Assim a diferencial em (A1,A2) aplicada a (B1,B2) é
d f3(A1,A2)(B1,B2) =det(B1,A2)+det(A1,B2)

Resposta

d f1(a,b)(u,v)=lang<= u,brang<=+lang<= a,vrang<=,
d f2(a)(u)=2lang<= a,urang<=,
d f3(A1,A2)(B1,B2) =det(B1,A2)+det(A1,B2)

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