Calcule lim x 1 raizx-1raiz[6]x-1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto1raizx-1raiz[6]x-1
O conteúdo é limite de função que gera a forma indeterminada tfrac00. Vamos resolver usando uma substituição que simplifica as raízes.

Passo 2

Verificamos a indeterminação. Ao fazer xto1, temos raizx-1to0 e raiz[6]x-1to0, logo a expressão é da forma tfrac00.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
t = raiz[6]x,então x = t^6 ã
Quando xto1, também tto1. Aí
raizx = raizt^6 = t^3,
e o limite vira
limtto1t^3-1t-1

Passo 4

Para t^3-1t-1 usamos fatoração de diferença de cubos:
t^3 - 1 = (t-1)(t^2 + t + 1),
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t^3-1t-1 = t^2 + t + 1
Avaliar em t=1
1^2 + 1 + 1 = 3

Resposta

3

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