Exercício 17. (Apostol seção 1.17 exercício 9) Considere o conjunto das funções contínuas definidas no intervalo [0,2 pi], isto é, C([0,2 pi]). Definamos o produto interno lang<= u, vrang<=:=integral0^2 pi u(t) v(t) d t. Ache o vetor contido no subespaço gerado por 1, sen(x), cos (x) que melhor aproxima a função x.

Passo 1

Estamos em ,C([0,2pi]) com produto interno
lang<= u,vrang<= = integral0^2piu(t),v(t),dt
e queremos projetar f(x)=x no subespaço V=span1,sin x,cos x. Pela projeção ortogonal, o polinômio de melhor aproximação tem a forma
p(x)=a0 + a1cos x + b1sin x,
onde
a0 = lang<= x,1rang<=lang<= 1,1rang<=, a1 = lang<= x,cos xrang<=lang<= cos x,cos xrang<=, b1 = lang<= x,sin xrang<=lang<= sin x,sin xrang<=

Passo 2

Vamos usar a ortogonalidade e encontrar as normas dos vetores básicos.
lang<= 1,cos xrang<= = integral0^2pi1cdotcos x,dx = 0, lang<= 1,sin xrang<= = integral0^2pi1cdotsin x,dx = 0,
lang<= cos x,sin xrang<= = 0,
lang<= 1,1rang<= = integral0^2pi1,dx = 2pi, lang<= cos x,cos xrang<= = integral0^2picos^2x,dx = pi, lang<= sin x,sin xrang<= = integral0^2pisin^2x,dx = pi

Passo 3

Calculamos lang<= x,1rang<= e a0:
lang<= x,1rang<= = integral0^2pix,dx = [x^22]0^2pi = 2pi^2, a0 = 2pi^22pi = pi

Passo 4

Agora lang<= x,cos xrang<= e lang<= x,sin xrang<=:
lang<= x,cos xrang<= = integral0^2pixcos x,dx = l[xsin xr]0^2pi - integral0^2pisin x,dx = 0, a1 = 0pi = 0,
lang<= x,sin xrang<= = integral0^2pixsin x,dx = l(-xcos xr)0^2pi + integral0^2picos x,dx = -2pi, b1 = -2pipi = -2

Passo 5

Substituindo em p(x)=a0 + a1cos x + b1sin x, obtemos
p(x) = pi + 0cdotcos x ;+;(-2)sin x = pi - 2sin x

Resposta

pi - 2sin x

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