Exercício 17. (Apostol seção 1.17 exercício 9) Considere o conjunto das funções contínuas definidas no intervalo
, isto é,
. Definamos o produto interno
. Ache o vetor contido no subespaço gerado por
que melhor aproxima a função
.
Passo 1
Estamos em
com produto interno
e queremos projetar
no subespaço
. Pela projeção ortogonal, o polinômio de melhor aproximação tem a forma
onde
Passo 2
Vamos usar a ortogonalidade e encontrar as normas dos vetores básicos.
Passo 3
Calculamos
e
:
Passo 4
Agora
e
:
Passo 5
Substituindo em
, obtemos