Encontre a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x, y) dada, no ponto P dado.
f(x, y)=raizx^2+y^2, P=(1,1, raiz2)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
z = f(x,y) = raizx^2 + y^2
no ponto
P = (1,,1,,raiz2)
Para isso, vamos usar o fato de que o plano tangente a uma superfície z=f(x,y) em (x0,y0,f(x0,y0)) vem da aproximação linear usando derivadas parciais, e que a reta normal tem direção dada pelo vetor normal ao plano.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
fx(x,y) = partialpartial xraizx^2 + y^2 = xraizx^2 + y^2, fy(x,y) = yraizx^2 + y^2
No ponto (1,1) temos
fx(1,1) = 1raiz2, fy(1,1) = 1raiz2

Passo 3

A fórmula do plano tangente é
z = f(1,1) + fx(1,1),(x-1) + fy(1,1),(y-1)
Como f(1,1)=raiz2, obtemos
z = raiz2 + 1raiz2,(x-1) + 1raiz2,(y-1)

Passo 4

Para a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano. Se definirmos
F(x,y,z) = z - f(x,y),
então
nabla F = l(-fx,,-fy,,1r) = l(-tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2,,1r)
no ponto P. Esse é o vetor direção da reta normal.

Passo 5

A equação paramétrica da reta normal, tomando parâmetro t, é
(x,y,z) = (1,,1,,raiz2) + tl(-tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2,,1r),
ou seja, em coordenadas:
x = 1 - traiz2, y = 1 - traiz2, z = raiz2 + t

Resposta

Plano tangente:
z = raiz2 + 1raiz2(x-1) + 1raiz2(y-1)
Reta normal (paramétrica):
x = 1 - tfractraiz2, y = 1 - tfractraiz2, z = raiz2 + t

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