Encontre a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
dada, no ponto
dado.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto
Para isso, vamos usar o fato de que o plano tangente a uma superfície
em
vem da aproximação linear usando derivadas parciais, e que a reta normal tem direção dada pelo vetor normal ao plano.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
:
No ponto
temos
Passo 3
A fórmula do plano tangente é
Como
, obtemos
Passo 4
Para a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano. Se definirmos
então
no ponto
. Esse é o vetor direção da reta normal.
Passo 5
A equação paramétrica da reta normal, tomando parâmetro
, é
ou seja, em coordenadas:
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (paramétrica):