5.4N Efetuando as substituições indicadas, determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
(x+y) d x+(3 x+3 y-4) d y=0 ; z=x+y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(x+y),dx+(3x+3y-4),dy=0
e indica a substituição z=x+y. Como a equação não é exata (pois partial M/partial y=1neq3=partial N/partial x), vamos usar z para reduzir tudo a uma relação entre x e z.

Passo 2

Substituímos
y = z - x
de onde
dy = dz - dx
No termo x + y aparece z, e em 3x + 3y - 4 aparece 3z - 4. A equação fica
z cdot dx + (3z - 4) cdot dy = 0
Agora colocamos dy = dz - dx:
z cdot dx + (3z - 4) cdot (dz - dx) = 0

Passo 3

Distribuindo e agrupando os termos em dx e dz temos
z,dx + (3z-4),dz - (3z-4),dx = 0 ;;Longrightarrow;; (z - (3z-4)),dx + (3z-4),dz = 0
l(4-2zr),dx + (3z-4),dz = 0
Reescrevendo como uma equação separável em x e z:
dxdz = -3z-44-2z = 3z-42(z-2)

Passo 4

Integramos
x = integral 3z-42(z-2),dz + C
Dividindo o quociente:
3z-4z-2 = 3 + 2z-2 Longrightarrow 3z-42(z-2) = 32 + 1z-2
Logo
x = integrall(tfrac32 + 1z-2r),dz + C = 32,z + lnl|z-2r| + C
Voltando a z=x+y:
x = tfrac32,(x+y) + lnl|x+y-2r| + C ;;Longrightarrow;; x - tfrac32x = tfrac32y + lnl|x+y-2r| + C
-tfrac12,x = tfrac32,y + lnl|x+y-2r| + C ;;Longrightarrow;; x + 3y + 2lnl|x+y-2r| = C'

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x + 3y + 2lnl|,x+y-2,r| = C,
onde C é a constante de integração.

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