5.4N Efetuando as substituições indicadas, determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e indica a substituição
. Como a equação não é exata (pois
), vamos usar
para reduzir tudo a uma relação entre
e
.
Passo 2
Substituímos
de onde
No termo
aparece
, e em
aparece
. A equação fica
Agora colocamos
:
Passo 3
Distribuindo e agrupando os termos em
e
temos
Reescrevendo como uma equação separável em
e
:
Passo 4
Integramos
Dividindo o quociente:
Logo
Voltando a
z=x+y :
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
C é a constante de integração.