Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Ao substituir
obtemos no numerador e no denominador. - Portanto a forma é
, que é uma forma indeterminada — ou seja, precisamos manipular a expressão para conseguir o valor do limite.
Passo 2
O que significa a forma indeterminada
e que opções temos?
- Quando uma expressão de limite dá
isso indica que tanto numerador quanto denominador tendem a zero; não dá para concluir o valor do limite sem manipular a expressão. - Métodos possíveis: fatoração, racionalização (quando há raízes), ou regra de L’Hôpital (se já conhecer). Aqui a opção mais direta e elementar é a racionalização do numerador, porque aparece
. - A técnica da racionalização usa a conjugada: multiplicar numerador e denominador por
. Isso é multiplicar por (quando ), portanto não altera o valor da expressão para e permite eliminar a raiz no numerador.
Passo 3
Aplicando a racionalização: multiplicar por
.
No numerador usamos a identidade
com
e
:
Passo 4
Substituindo essa simplificação na fração obtemos, para
,
Ou seja, a expressão original é igual a
para todo
próximo de
, exceto em
onde a forma original não está definida. Para calcular o limite, podemos agora usar a continuidade da função
: se
é contínua em
, então
Passo 5
Calcule o valor numérico final:
Pequeno incentivo: ótima escolha usar racionalização aqui — é rápido e evita cálculo de derivadas. Mandou bem por pedir o passo a passo!