Calcule:
\lim _{x \rightarrow 14} \frac{\sqrt{x+2}-4}{x-14}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to14}\frac{\sqrt{x+2}-4}{x-14}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Numerador: \sqrt{x+2}-4.
  • Denominador: x-14.
  • Ao substituir x=14 obtemos \sqrt{14+2}-4=\sqrt{16}-4=4-4=0 no numerador e 14-14=0 no denominador.
  • Portanto a forma é 0/0, que é uma forma indeterminada — ou seja, precisamos manipular a expressão para conseguir o valor do limite.

Passo 2

O que significa a forma indeterminada 0/0 e que opções temos?
  • Quando uma expressão de limite dá 0/0 isso indica que tanto numerador quanto denominador tendem a zero; não dá para concluir o valor do limite sem manipular a expressão.
  • Métodos possíveis: fatoração, racionalização (quando há raízes), ou regra de L’Hôpital (se já conhecer). Aqui a opção mais direta e elementar é a racionalização do numerador, porque aparece \sqrt{\cdot}.
  • A técnica da racionalização usa a conjugada: multiplicar numerador e denominador por \sqrt{x+2}+4. Isso é multiplicar por 1 (quando x\neq14), portanto não altera o valor da expressão para x\neq14 e permite eliminar a raiz no numerador.

Passo 3

Aplicando a racionalização: multiplicar por \dfrac{\sqrt{x+2}+4}{\sqrt{x+2}+4}.
\frac{\sqrt{x+2}-4}{x-14}\cdot\frac{\sqrt{x+2}+4}{\sqrt{x+2}+4} =\frac{(\sqrt{x+2}-4)(\sqrt{x+2}+4)}{(x-14)\,(\sqrt{x+2}+4)}.
No numerador usamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 com a=\sqrt{x+2} e b=4:
(\sqrt{x+2}-4)(\sqrt{x+2}+4)=(\sqrt{x+2})^2-4^2=(x+2)-16=x-14.

Passo 4

Substituindo essa simplificação na fração obtemos, para x\neq14,
\frac{\sqrt{x+2}-4}{x-14} =\frac{x-14}{(x-14)\,(\sqrt{x+2}+4)} =\frac{1}{\sqrt{x+2}+4}.
Ou seja, a expressão original é igual a \dfrac{1}{\sqrt{x+2}+4} para todo x próximo de 14, exceto em x=14 onde a forma original não está definida. Para calcular o limite, podemos agora usar a continuidade da função \sqrt{\cdot}: se g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+4} é contínua em x=14, então
\lim_{x\to14}\frac{\sqrt{x+2}-4}{x-14} =\lim_{x\to14}\frac{1}{\sqrt{x+2}+4} =\frac{1}{\sqrt{14+2}+4}.

Passo 5

Calcule o valor numérico final:
\frac{1}{\sqrt{14+2}+4}=\frac{1}{\sqrt{16}+4}=\frac{1}{4+4}=\frac{1}{8}.
Pequeno incentivo: ótima escolha usar racionalização aqui — é rápido e evita cálculo de derivadas. Mandou bem por pedir o passo a passo!

Resposta

\dfrac{1}{8}

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