Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}+x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}+x}\right).
Informações dadas:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}+x}.
  • O limite é na direção x\to 0.
    Observação importante: a expressão não está definida em x=0 (nem em x=-1), mas isso não impede calcular o limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Estratégia: simplificar a expressão algébrica antes de tomar o limite. Vou escrever os termos com um denominador comum e tentar cancelar fatores que não atrapalhem o processo de limite (lembrando que para x próximo de 0, mas diferente de 0, podemos fazer cancelamentos).

Passo 3

Reescrevendo o denominador x^{2}+x em fatoração:
x^{2}+x = x(x+1).
Portanto a segunda fração é \dfrac{1}{x(x+1)}.

Passo 4

Colocando as duas frações sobre o mesmo denominador x(x+1). Primeiro escrevo \dfrac{1}{x} com esse denominador:
\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x(x+1)}.
Agora subtraio a segunda fração:
\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}+x} = \frac{x+1}{x(x+1)}-\frac{1}{x(x+1)} = \frac{(x+1)-1}{x(x+1)}.

Passo 5

Simplificando o numerador:
\frac{(x+1)-1}{x(x+1)}=\frac{x}{x(x+1)}.
Para x\neq 0 podemos cancelar o fator x no numerador e no denominador:
\frac{x}{x(x+1)}=\frac{1}{x+1}\qquad(\text{para }x\neq 0,-1).

Passo 6

Agora o limite fica simples, porque a função \dfrac{1}{x+1} é contínua em x=0 (o denominador x+1 não se anula em x=0). Logo
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}+x}\right) =\lim_{x\to 0}\frac{1}{x+1}=\frac{1}{0+1}=1.

Resposta

1

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