Calcule:
\lim _{x \rightarrow-5} \frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{x}}{5+x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to-5}\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{x}}{5+x}.
Informações dadas (expressões que aparecem no problema):
  • Numerador: \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{x}.
  • Denominador: 5+x.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x\to-5.
    A tarefa é encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar substituição direta para ver se o limite é imediatamente determinado. Substituindo x=-5 na expressão original:
  • Numerador: \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{-5}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5}=0.
  • Denominador: 5+(-5)=0.
    Portanto a forma é 0/0, uma indeterminação. Isso indica que precisamos manipular algebraicamente a expressão para eliminar o fator que causa o zero comum.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador somando as frações. Para somar \dfrac{1}{5} e \dfrac{1}{x} usamos o denominador comum 5x:
\frac{1}{5}+\frac{1}{x}=\frac{x}{5x}+\frac{5}{5x}=\frac{x+5}{5x}.
Portanto a expressão do limite fica
\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{x}}{5+x}=\frac{\dfrac{x+5}{5x}}{5+x}.

Passo 4

Reescrevendo a divisão de frações como multiplicação pelo inverso:
\frac{\dfrac{x+5}{5x}}{5+x}=\frac{x+5}{5x}\cdot\frac{1}{5+x}.
Note que 5+x é igual a x+5. Assim podemos ver um fator comum x+5 no numerador e no denominador.

Passo 5

Como x+5 aparece multiplicando (ou dividindo) e estamos calculando um limite em que consideramos valores de x próximos de -5 porém diferentes de -5, é legítimo cancelar o fator x+5 (pois para x\neq-5 esse fator é não nulo). Cancelando obtemos a forma simplificada válida em todo entorno de -5 (exceto em -5 exatamente):
\frac{x+5}{5x}\cdot\frac{1}{x+5}=\frac{1}{5x}.
Logo, para x\neq-5 a função original é igual a \dfrac{1}{5x}, e os limites coincidem.

Passo 6

Agora calculamos o limite da forma simplificada por substituição direta, já que não há mais indeterminação:
\lim_{x\to-5}\frac{1}{5x}=\frac{1}{5\cdot(-5)}=\frac{1}{-25}=-\frac{1}{25}.

Resposta

-\dfrac{1}{25}

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