Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (expressões que aparecem no problema):
- Numerador:
. - Denominador:
. - O ponto onde a variável se aproxima é
.
A tarefa é encontrar o valor desse limite.
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar substituição direta para ver se o limite é imediatamente determinado. Substituindo
na expressão original:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Portanto a forma é, uma indeterminação. Isso indica que precisamos manipular algebraicamente a expressão para eliminar o fator que causa o zero comum.
Passo 3
Vamos simplificar o numerador somando as frações. Para somar
e
usamos o denominador comum
:
Portanto a expressão do limite fica
Passo 4
Reescrevendo a divisão de frações como multiplicação pelo inverso:
Note que
é igual a
. Assim podemos ver um fator comum
no numerador e no denominador.
Passo 5
Como
aparece multiplicando (ou dividindo) e estamos calculando um limite em que consideramos valores de
próximos de
porém diferentes de
, é legítimo cancelar o fator
(pois para
esse fator é não nulo). Cancelando obtemos a forma simplificada válida em todo entorno de
(exceto em
exatamente):
Logo, para
a função original é igual a
, e os limites coincidem.
Passo 6
Agora calculamos o limite da forma simplificada por substituição direta, já que não há mais indeterminação: