Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
- Pede-se calcular o limite
. - A expressão envolve
, logo estamos interessados em próximos de (onde ). - Observação útil: ao substituir
diretamente obtemos numerador e denominador , isto é, uma forma indeterminada . Isso indica que precisamos manipular a expressão algebraicamente antes de avaliar o limite.
Passo 2
Estratégia escolhida (breve e simples): eliminar a indeterminação fatorando e cancelando um fator comum. Uma ferramenta básica que usamos é a identidade da diferença de quadrados:
Vou aplicar essa identidade duas vezes, mostrando passo a passo.
Passo 3
Fatorar o numerador uma vez usando diferença de quadrados com
e
:
Explanação: isto vem de
, então
.
Passo 4
Reescrever o fator
como diferença de quadrados usando
e
:
Explicação: como
, podemos aplicar novamente
.
Passo 5
Substituir essa decomposição no numerador e escrever a fração:
Agora, como estamos calculando um limite quando
(e não avaliando exatamente em
), podemos cancelar o fator comum
nos numerador e denominador para
. Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada:
Passo 6
Com a expressão simplificada já não há mais indeterminação, então podemos avaliar o limite por substituição direta
. Lembrando
, temos:
Passo 7
Calcular o produto final: