Calcule:
\lim _{x \rightarrow 16} \frac{x^{2}-256}{\sqrt{x}-4}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to16}\frac{x^{2}-256}{\sqrt{x}-4}.
  • A expressão envolve \sqrt{x}, logo estamos interessados em x próximos de 16 (onde \sqrt{16}=4).
  • Observação útil: ao substituir x=16 diretamente obtemos numerador 16^{2}-256=0 e denominador \sqrt{16}-4=0, isto é, uma forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso indica que precisamos manipular a expressão algebraicamente antes de avaliar o limite.

Passo 2

Estratégia escolhida (breve e simples): eliminar a indeterminação fatorando e cancelando um fator comum. Uma ferramenta básica que usamos é a identidade da diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Vou aplicar essa identidade duas vezes, mostrando passo a passo.

Passo 3

Fatorar o numerador uma vez usando diferença de quadrados com a=x e b=16:
x^{2}-256=(x-16)(x+16).
Explanação: isto vem de 256=16^{2}, então x^{2}-16^{2}=(x-16)(x+16).

Passo 4

Reescrever o fator x-16 como diferença de quadrados usando a=\sqrt{x} e b=4:
x-16=(\sqrt{x})^{2}-4^{2}=(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4).
Explicação: como x=(\sqrt{x})^{2}, podemos aplicar novamente a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).

Passo 5

Substituir essa decomposição no numerador e escrever a fração:
\frac{x^{2}-256}{\sqrt{x}-4}=\frac{(x-16)(x+16)}{\sqrt{x}-4} =\frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)(x+16)}{\sqrt{x}-4}.
Agora, como estamos calculando um limite quando x\to16 (e não avaliando exatamente em x=16), podemos cancelar o fator comum \sqrt{x}-4 nos numerador e denominador para x\neq16. Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada:
\frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)(x+16)}{\sqrt{x}-4}=(\sqrt{x}+4)(x+16),\qquad (x\neq16).

Passo 6

Com a expressão simplificada já não há mais indeterminação, então podemos avaliar o limite por substituição direta x\to16. Lembrando \sqrt{16}=4, temos:
\lim_{x\to16}(\sqrt{x}+4)(x+16)=(4+4)(16+16)=8\cdot32.

Passo 7

Calcular o produto final:
8\cdot32=256.

Resposta

256

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