Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \cdot \operatorname{tg}(5 x)}{\frac{x}{4}}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0} \frac{3\,\tan(5x)}{\tfrac{x}{4}}.
O conteúdo principal é o limite trigonométrico para ângulos pequenos, em particular
\lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1.

Passo 2

Reescrevendo a fração, temos
\frac{3\,\tan(5x)}{\tfrac{x}{4}} =3\,\tan(5x)\times\frac{4}{x} =12\cdot\frac{\tan(5x)}{x}.

Passo 3

Note que
\frac{\tan(5x)}{x} =5\cdot\frac{\tan(5x)}{5x},
e como 5x\to0 quando x\to0, podemos usar
\lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1.

Passo 4

Portanto,
\lim_{x\to0}\frac{\tan(5x)}{x} =5\cdot\lim_{x\to0}\frac{\tan(5x)}{5x} =5\cdot1 =5,
e daí
\lim_{x\to0}12\cdot\frac{\tan(5x)}{x} =12\cdot5 =60.

Resposta

60

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