Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{1-\cos x}

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{1-\cos x}.
O conteúdo envolve limites de funções que geram a forma indeterminada \tfrac{0}{0} e vamos usar séries de Taylor para resolver.

Passo 2

Verificamos o comportamento de numerador e denominador quando x\to0:
\sin(x^2)\to0 e \cos x\to1, logo
1-\cos x\to 0.
Portanto temos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Desenvolvemos as séries de Taylor em torno de x=0:
\sin(x^2)=x^2-\frac{(x^2)^3}{6}+O(x^8) =x^2-\frac{x^6}{6}+O(x^8),
\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6),
logo
1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+O(x^6).

Passo 4

Formando o quociente:
\frac{\sin(x^2)}{1-\cos x} =\frac{x^2\Bigl(1-\frac{x^4}{6}+O(x^6)\Bigr)}{x^2\Bigl(\tfrac12-\frac{x^2}{24}+O(x^4)\Bigr)} =\frac{1-\frac{x^4}{6}+O(x^6)}{\tfrac12-\frac{x^2}{24}+O(x^4)}.
Quando x\to0, o numerador tende a 1 e o denominador a \tfrac12, portanto
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^2)}{1-\cos x} =\frac{1}{\tfrac12}=2.

Resposta

2

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