Calcule
\lim _{x \rightarrow \pi / 2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right) \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{x\to \pi/2}\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\tan x.
O conteúdo principal aqui é lidar com uma forma indeterminada do tipo 0\cdot\infty, e vamos usar o Teorema de L’Hôpital para resolvê-la.

Passo 2

Reescrevemos o produto como quociente, usando \tan x=1/\cot x:
\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\tan x =\frac{x-\tfrac{\pi}{2}}{\cot x}.
Quando x\to\pi/2, o numerador vai a 0 e \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\to0, dando uma indeterminação \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Aplicamos o Teorema de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x.

Passo 4

A derivada de x-\tfrac{\pi}{2} é 1. A derivada de \cot x é -\csc^2 x. Logo,
\lim_{x\to \pi/2}\frac{x-\tfrac{\pi}{2}}{\cot x} =\lim_{x\to \pi/2}\frac{1}{-\csc^2 x} =-\frac{1}{\csc^2\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)} =-1.

Resposta

-1

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