2^{a} Questão: (2.5 pontos) Seja a equação diferencial
\left(3 x+\frac{6}{y}\right)+\left(\frac{x^{2}}{y}+3 \frac{y}{x}\right) y^{\prime}=0
i) Mostre que a equação (1) não é exata.
ii) Considere o fator integrante \mu(x, y)=x y. Mostre que \mu torna a equação (1) exata.
iii) Resolva a equação encontrada no item ii).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(3x + \tfrac{6}{y}\bigr) + \bigl(\tfrac{x^2}{y} + 3\tfrac{y}{x}\bigr)y' = 0
e pede: (i) mostrar que não é exata; (ii) verificar que o fator integrante \mu(x,y)=xy torna-a exata; (iii) resolver a equação resultante. Vamos usar o teste de exatidão \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x e, depois de tornar exata, buscar potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=M e \phi_y=N.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=3x + \frac{6}{y}, \qquad N(x,y)=\frac{x^2}{y} + 3\frac{y}{x}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(3x + 6y^{-1}\Bigr) =-6y^{-2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(x^2y^{-1}+3xy^{-1}\,y\Bigr) =\frac{2x}{y}-3\frac{y}{x^2}.
Como
-6y^{-2}\neq \tfrac{2x}{y}-3\tfrac{y}{x^2} em geral, a equação original não é exata.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \mu(x,y)=xy. Isso nos dá novo
\widetilde M = xy\Bigl(3x + \tfrac{6}{y}\Bigr) =3x^2y+6x, \qquad \widetilde N = xy\Bigl(\tfrac{x^2}{y}+3\tfrac{y}{x}\Bigr) =x^3+3y^2.
Agora verificamos exatidão:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(3x^2y+6x) =3x^2, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x^3+3y^2) =3x^2.
Como \partial \widetilde M/\partial y=\partial \widetilde N/\partial x, a equação multiplicada por xy é exata.

Passo 4

Buscamos \varphi(x,y) tal que
\phi_x = \widetilde M = 3x^2y+6x.
Integramos em x:
\varphi(x,y) =\int(3x^2y+6x)\,dx =x^3y+3x^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Em seguida usamos
\phi_y = \widetilde N = x^3+3y^2.
Por um lado,
\phi_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^3y+3x^2+h(y)) =x^3 + h'(y).
Igualando a \widetilde N:
x^3 + h'(y) = x^3 + 3y^2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=3y^2 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y^3.
Logo
\varphi(x,y)=x^3y+3x^2+y^3.

Passo 5

A solução implícita geral da equação exata é
\varphi(x,y)=C,
ou seja
x^3y + 3x^2 + y^3 = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
x^3y + 3x^2 + y^3 = C.

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