Questão: (2.5 pontos) Seja a equação diferencial
i) Mostre que a equação (1) não é exata.
ii) Considere o fator integrante
. Mostre que
torna a equação (1) exata.
iii) Resolva a equação encontrada no item ii).
ii) Considere o fator integrante
iii) Resolva a equação encontrada no item ii).
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede: (i) mostrar que não é exata; (ii) verificar que o fator integrante
torna-a exata; (iii) resolver a equação resultante. Vamos usar o teste de exatidão
e, depois de tornar exata, buscar potencial
tal que
e
.
Passo 2
Definimos
Calculemos as derivadas parciais:
Como
em geral, a equação original não é exata.
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
. Isso nos dá novo
Agora verificamos exatidão:
Como
, a equação multiplicada por
é exata.
Passo 4
Buscamos
tal que
.
Integramos em :
Integramos em
onde
é função a determinar. Em seguida usamos
.
Por um lado,
Por um lado,
Igualando a
:
Logo
.
Passo 5
A solução implícita geral da equação exata é
ou seja
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral é