Calcule \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x) \cos (x)-x}{x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen}(x)\cos(x)-x}{x^{2}}.
  • Informação dada: a expressão no numerador é \operatorname{sen}(x)\cos(x)-x (vou usar a notação usual em TeX: \sin para \operatorname{sen}).
  • Objetivo final: encontrar o valor numérico do limite quando x tende a 0.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica útil: \sin x\cos x = \tfrac{1}{2}\sin(2x).
Explicando essa identidade de forma simples: existe a fórmula
\sin A\cos B = \tfrac{1}{2}\big(\sin(A+B)+\sin(A-B)\big).
Tomando A=B=x obtemos
\sin x\cos x = \tfrac{1}{2}\big(\sin(2x)+\sin(0)\big)=\tfrac{1}{2}\sin(2x),
pois \sin(0)=0.

Passo 3

Reescrevendo o limite usando a identidade:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\cos x - x}{x^{2}} = \lim_{x\to 0}\frac{\tfrac{1}{2}\sin(2x)-x}{x^{2}}.
Antes de prosseguir, verifico o tipo de indeterminação: quando x\to 0 temos \sin(2x)\to 0, logo \tfrac{1}{2}\sin(2x)-x\to 0-0=0. O denominador x^{2}\to 0. Portanto a forma é \tfrac{0}{0}, uma indeterminação onde o Teorema de L’Hôpital pode ser aplicado (as funções envolvidas são diferenciáveis perto de 0).

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador) uma primeira vez.
Derivada do numerador:
  • derivada de \tfrac{1}{2}\sin(2x) é \tfrac{1}{2}\cdot 2\cos(2x)=\cos(2x),
  • derivada de -x é -1.
Logo a derivada do numerador é \cos(2x)-1.
Derivada do denominador \,x^{2} é 2x.
Portanto, pelo Teorema de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{\tfrac{1}{2}\sin(2x)-x}{x^{2}} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos(2x)-1}{2x}.

Passo 5

A nova expressão ainda é indeterminada: quando x\to 0 temos \cos(2x)-1\to 0 e 2x\to 0. Aplico L’Hôpital pela segunda vez.
Derivada do numerador \cos(2x)-1:
  • derivada de \cos(2x) é -2\sin(2x),
  • derivada de -1 é 0.
Derivada do denominador 2x é 2.
Portanto, aplicando L’Hôpital de novo,
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(2x)-1}{2x} = \lim_{x\to 0}\frac{-2\sin(2x)}{2}.

Passo 6

Simplificando a expressão obtida:
\lim_{x\to 0}\frac{-2\sin(2x)}{2} = \lim_{x\to 0} -\sin(2x).
Como \sin(2x)\to 0 quando x\to 0, o limite é
-\sin(0)=0.
Logo o limite original vale 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados