Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular o limite
. - Informação dada: a expressão no numerador é
(vou usar a notação usual em TeX: para ). - Objetivo final: encontrar o valor numérico do limite quando
tende a .
Passo 2
Uma identidade trigonométrica útil:
.
Explicando essa identidade de forma simples: existe a fórmula
Tomando
obtemos
pois
.
Passo 3
Reescrevendo o limite usando a identidade:
Antes de prosseguir, verifico o tipo de indeterminação: quando
temos
, logo
. O denominador
. Portanto a forma é
, uma indeterminação onde o Teorema de L’Hôpital pode ser aplicado (as funções envolvidas são diferenciáveis perto de
).
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador) uma primeira vez.
Derivada do numerador:
- derivada de
é , - derivada de
é .
Logo a derivada do numerador é
.
Derivada do denominador
é
.
Portanto, pelo Teorema de L’Hôpital,
Passo 5
A nova expressão ainda é indeterminada: quando
temos
e
. Aplico L’Hôpital pela segunda vez.
Derivada do numerador
:
- derivada de
é , - derivada de
é .
Derivada do denominador
é
.
Portanto, aplicando L’Hôpital de novo,
Passo 6
Simplificando a expressão obtida:
Como
quando
, o limite é
Logo o limite original vale
.