A reta tangente ao gráfico da função, \mathrm{y}=\frac{x^{2}}{e^{x}}+1, ao ponto, \mathrm{P}=(0,1), também passa em quais pontos?

Passo 1

O enunciado dá a função y=\dfrac{x^{2}}{e^{x}}+1 e o ponto P=(0,1) que está no gráfico. A pergunta é: a reta tangente ao gráfico dessa função no ponto P também passa em quais pontos do gráfico?
Informações relevantes dadas:
  • A função é y=\dfrac{x^{2}}{e^{x}}+1.
  • O ponto de tangência é P=(0,1).
  • É preciso obter a equação da reta tangente em P e ver quais pontos do gráfico satisfazem simultaneamente a equação da reta e a da função.

Passo 2

Primeiro vamos preparar a função para derivar. É mais claro escrever
y = x^{2}e^{-x} + 1.
Para obter a reta tangente precisamos da derivada y'(x) e do valor dela em x=0. Lembrete de regra que vamos usar (produto e exponencial):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então (u v)' = u'v + u v'.
  • Derivada da exponencial negativa: \dfrac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}.
Aqui podemos tomar u(x)=x^{2} e v(x)=e^{-x}. Então u'(x)=2x e v'(x)=-e^{-x}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
y'(x) = \bigl(x^{2}e^{-x}\bigr)' + 0 = u'v + u v' = 2x\cdot e^{-x} + x^{2}\cdot(-e^{-x}).
Fatorando e^{-x}:
y'(x)=e^{-x}\bigl(2x - x^{2}\bigr).
Agora avalia em x=0:
y'(0)=e^{0}\bigl(2\cdot 0 - 0^{2}\bigr)=1\cdot 0 = 0.
Ou seja, a inclinação da reta tangente em P é 0.

Passo 4

Equação da reta tangente no ponto (x_0,y_0)=(0,1) com coeficiente angular m=0 é dada por
y - y_{0} = m(x - x_{0}).
Substituindo:
y - 1 = 0\cdot (x - 0)\quad\Rightarrow\quad y=1.
Portanto a reta tangente é a reta horizontal \,y=1.

Passo 5

Agora precisamos achar os pontos do gráfico que também pertencem à reta y=1. Igualamos a função à reta:
\frac{x^{2}}{e^{x}}+1 = 1.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
\frac{x^{2}}{e^{x}} = 0.
Multiplicando por e^{x} (note que e^{x}>0 para todo x, então a multiplicação é segura e não altera soluções):
x^{2}=0.
Daí vem x=0. O único valor de x que satisfaz é 0. O correspondente y é y=1. Logo o único ponto de interseção entre a reta tangente e o gráfico é P=(0,1).

Passo 6

Comentário didático rápido: a razão pela qual não existem outros pontos é que \dfrac{x^{2}}{e^{x}} nunca é negativo e só se anula em x=0. Próximo do zero a função comporta-se como x^{2} (expansão de e^{-x} dá termos que deixam x^{2} dominante), o que significa que a reta horizontal y=1 “encosta” no gráfico em x=0 sem cruzá-lo — é uma tangência de ordem 2 (raiz dupla). Se quiser confirmar a natureza de mínimo local, pode-se calcular y''(0)=2>0, mostrando que é um mínimo com tangente horizontal.

Resposta

(0,1)

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