A reta tangente ao gráfico da função,
, ao ponto,
, também passa em quais pontos?
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
que está no gráfico. A pergunta é: a reta tangente ao gráfico dessa função no ponto
também passa em quais pontos do gráfico?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O ponto de tangência é
. - É preciso obter a equação da reta tangente em
e ver quais pontos do gráfico satisfazem simultaneamente a equação da reta e a da função.
Passo 2
Primeiro vamos preparar a função para derivar. É mais claro escrever
Para obter a reta tangente precisamos da derivada
e do valor dela em
. Lembrete de regra que vamos usar (produto e exponencial):
- Regra do produto: se
e são funções, então . - Derivada da exponencial negativa:
.
Aqui podemos tomar
e
. Então
e
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
:
Agora avalia em
:
Ou seja, a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 4
Equação da reta tangente no ponto
com coeficiente angular
é dada por
Substituindo:
Portanto a reta tangente é a reta horizontal
.
Passo 5
Agora precisamos achar os pontos do gráfico que também pertencem à reta
. Igualamos a função à reta:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando por
(note que
para todo
, então a multiplicação é segura e não altera soluções):
Daí vem
. O único valor de
que satisfaz é
. O correspondente
é
. Logo o único ponto de interseção entre a reta tangente e o gráfico é
.
Passo 6
Comentário didático rápido: a razão pela qual não existem outros pontos é que
nunca é negativo e só se anula em
. Próximo do zero a função comporta-se como
(expansão de
dá termos que deixam
dominante), o que significa que a reta horizontal
“encosta” no gráfico em
sem cruzá-lo — é uma tangência de ordem 2 (raiz dupla). Se quiser confirmar a natureza de mínimo local, pode-se calcular
, mostrando que é um mínimo com tangente horizontal.