Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a infinito da expressão
Informações dadas:
- A expressão é composta por uma raiz quadrada
e por um termo linear . - O limite a calcular é
.
Passo 2
Observação sobre a raiz: a expressão dentro da raiz pode ser reconhecida como um quadrado perfeito:
Lembrete matemático importante (explicação didática): para qualquer número real
vale
porque a raiz quadrada retorna sempre o valor não negativo. Aqui, aplicando isso com
, temos
Passo 3
Para
os valores de
são positivos e grandes, logo
para todos os
suficientemente grandes. Portanto, no contexto do limite,
Substituindo na expressão original obtemos, para
grande,
Passo 4
Fazer a simplificação algébrica:
Agora raciocínio sobre o comportamento quando
: a função
é uma reta com coeficiente angular negativo, ou seja, quando
cresce sem limite
toma valores negativos com módulo cada vez maior. Formalmente, dado qualquer número positivo
, se escolhermos
teremos
o que significa que a expressão torna-se arbitrariamente negativa quando
cresce.
Passo 5
(Explicação alternativa — técnica da racionalização, só para aprender outra ferramenta.) Poderia também multiplicar por conjugado para tratar a forma indeterminada
:
Isso simplifica para
e dividindo numerador e denominador por
(ou por
) confirma que o numerador cresce como
enquanto o denominador cresce como
, o que novamente mostra que a fração tende a valores negativos de módulo crescente quando
, consistente com a conclusão anterior.