Calcule \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+2 x+1}-2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a infinito da expressão
\sqrt{x^{2}+2x+1}-2x.
Informações dadas:
  • A expressão é composta por uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}+2x+1} e por um termo linear 2x.
  • O limite a calcular é \displaystyle\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+2x+1}-2x\bigr).

Passo 2

Observação sobre a raiz: a expressão dentro da raiz pode ser reconhecida como um quadrado perfeito:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Lembrete matemático importante (explicação didática): para qualquer número real a vale
\sqrt{a^{2}}=\lvert a\rvert,
porque a raiz quadrada retorna sempre o valor não negativo. Aqui, aplicando isso com a=x+1, temos
\sqrt{(x+1)^{2}}=\lvert x+1\rvert.

Passo 3

Para x\to\infty os valores de x são positivos e grandes, logo x+1>0 para todos os x suficientemente grandes. Portanto, no contexto do limite,
\lvert x+1\rvert = x+1.
Substituindo na expressão original obtemos, para x grande,
\sqrt{x^{2}+2x+1}-2x = (x+1)-2x.

Passo 4

Fazer a simplificação algébrica:
(x+1)-2x = 1-x.
Agora raciocínio sobre o comportamento quando x\to\infty: a função 1-x é uma reta com coeficiente angular negativo, ou seja, quando x cresce sem limite 1-x toma valores negativos com módulo cada vez maior. Formalmente, dado qualquer número positivo M, se escolhermos x>M+1 teremos
1-x < -M,
o que significa que a expressão torna-se arbitrariamente negativa quando x cresce.

Passo 5

(Explicação alternativa — técnica da racionalização, só para aprender outra ferramenta.) Poderia também multiplicar por conjugado para tratar a forma indeterminada \infty-\infty:
\sqrt{x^{2}+2x+1}-2x = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+2x+1}-2x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+2x+1}+2x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+2x+1}+2x} = \frac{x^{2}+2x+1-4x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2x+1}+2x}.
Isso simplifica para
\frac{-3x^{2}+2x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+1}+2x},
e dividindo numerador e denominador por x (ou por x^{2}) confirma que o numerador cresce como -3x^{2} enquanto o denominador cresce como x, o que novamente mostra que a fração tende a valores negativos de módulo crescente quando x\to\infty, consistente com a conclusão anterior.

Resposta

-\infty

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