Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de aproximação é
.
Não há outras informações numéricas ou figuras no enunciado.
Passo 2
Vamos inspecionar o valor das partes da expressão no ponto
.
Calcular valores conhecidos:
Calcular valores conhecidos:
Daí
ou seja,
tende a infinito em módulo quando
. Portanto o termo
tem uma forma potencialmente divergente e precisamos estudar o comportamento da expressão ao se aproximar de
.
Passo 3
Para analisar o comportamento próximo a
é prático fazer a substituição
com
. Reescrevendo as funções em termos de
:
Passo 4
Usamos identificação trigonométrica e aproximações lineares (primeira ordem) para pequenas
.
Primeiro, usar a identidade
Para
pequeno vale a aproximação de pequena-ângulo
. Logo
e consequentemente
Agora aproximar
por sua expansão linear. A derivada de
é
. Em
temos
, então
. Assim a expansão linear é
Passo 5
Multiplicando as aproximações obtidas:
Assim a expressão original fica, para
pequeno,
O termo dominante quando
é
. Portanto o comportamento depende do sinal de
:
- Se
(ou seja ), então e a expressão tende a . - Se
(ou seja ), então e a expressão tende a .
Passo 6
Conclusão: as duas limites laterais são diferentes e divergentes em sinais opostos, logo o limite bilateral não existe (não converge para número real nem para
nem para
de forma única).
Resposta
O limite não existe.