Calcule:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}[1-\operatorname{tg}(x) \operatorname{sec} (2 x)].

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\bigl[1-\operatorname{tg}(x)\operatorname{sec}(2x)\bigr].
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=1-\operatorname{tg}(x)\operatorname{sec}(2x).
  • O ponto de aproximação é x\to\frac{\pi}{4}.
    Não há outras informações numéricas ou figuras no enunciado.

Passo 2

Vamos inspecionar o valor das partes da expressão no ponto x=\frac{\pi}{4}.
Calcular valores conhecidos:
\operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1, \qquad \cos\!\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Daí
\operatorname{sec}\!\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{1}{\cos(\tfrac{\pi}{2})}=\frac{1}{0},
ou seja, \operatorname{sec}(2x) tende a infinito em módulo quando x\to\tfrac{\pi}{4}. Portanto o termo \operatorname{tg}(x)\operatorname{sec}(2x) tem uma forma potencialmente divergente e precisamos estudar o comportamento da expressão ao se aproximar de \tfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Para analisar o comportamento próximo a x=\tfrac{\pi}{4} é prático fazer a substituição
h=x-\tfrac{\pi}{4},
com h\to 0. Reescrevendo as funções em termos de h:
\operatorname{sec}(2x)=\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2h\bigr), \qquad \operatorname{tg}(x)=\operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}+h\bigr).

Passo 4

Usamos identificação trigonométrica e aproximações lineares (primeira ordem) para pequenas h.
Primeiro, usar a identidade
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2h\bigr)=-\sin(2h).
Para h pequeno vale a aproximação de pequena-ângulo \sin(2h)\approx 2h. Logo
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2h\bigr)\approx -2h,
e consequentemente
\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2h\bigr)=\frac{1}{\cos(\tfrac{\pi}{2}+2h)}\approx -\frac{1}{2h}.
Agora aproximar \operatorname{tg} por sua expansão linear. A derivada de \operatorname{tg} é \operatorname{tg}'(x)=\operatorname{sec}^2(x). Em x=\tfrac{\pi}{4} temos \operatorname{sec}(\tfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}, então \operatorname{sec}^2(\tfrac{\pi}{4})=2. Assim a expansão linear é
\operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}+h\bigr)\approx \operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)+\operatorname{tg}'\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)\,h =1+2h.

Passo 5

Multiplicando as aproximações obtidas:
\operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}+h\bigr)\,\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2h\bigr) \approx (1+2h)\!\left(-\frac{1}{2h}\right) = -\frac{1}{2h}-1.
Assim a expressão original fica, para h pequeno,
1-\operatorname{tg}(x)\operatorname{sec}(2x) =1-\operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}+h\bigr)\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2h\bigr) \approx 1-\biggl(-\frac{1}{2h}-1\biggr) =1+\frac{1}{2h}+1 =2+\frac{1}{2h}.
O termo dominante quando h\to 0 é \dfrac{1}{2h}. Portanto o comportamento depende do sinal de h:
  • Se h\to 0^+ (ou seja x\to\tfrac{\pi}{4}^+), então \dfrac{1}{2h}\to +\infty e a expressão tende a +\infty.
  • Se h\to 0^- (ou seja x\to\tfrac{\pi}{4}^-), então \dfrac{1}{2h}\to -\infty e a expressão tende a -\infty.

Passo 6

Conclusão: as duas limites laterais são diferentes e divergentes em sinais opostos, logo o limite bilateral não existe (não converge para número real nem para +\infty nem para -\infty de forma única).

Resposta

O limite não existe.
\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{4}^-}\bigl[1-\operatorname{tg}(x)\operatorname{sec}(2x)\bigr]=-\,\infty
\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{4}^+}\bigl[1-\operatorname{tg}(x)\operatorname{sec}(2x)\bigr]=+\infty

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