Diga se as afirmativas são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
Se uma função f(x) é derivável no intervalo fechado [a, b] e g(x) é derivável no intervalo fechado [f(a), f(b)] com f e f \circ g funções crescentes então g é crescente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f é derivável no intervalo fechado [a,b].
  • g é derivável no intervalo fechado [f(a),f(b)].
  • As funções f e f\circ g são crescentes.
    A pergunta é: a partir disso, pode-se concluir que g é crescente? Deve-se decidir se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar.

Passo 2

Antes de tentar provar ou refutar, é importante esclarecer o significado de “crescente”, porque a conclusão depende disso. Existem duas interpretações comuns:
  • “Crescente” = estritamente crescente: para x_1<x_2 tem-se h(x_1)<h(x_2).
  • “Crescente” = não decrescente (às vezes chamado apenas “crescente” em linguagem menos precisa): para x_1<x_2 tem-se h(x_1)\le h(x_2).
Vou tratar as duas interpretações separadamente: primeiro mostro que, se “crescente” for estritamente crescente, a afirmativa é verdadeira; depois mostro que, se “crescente” significar apenas não decrescente, a afirmativa é falsa por contraexemplo.

Passo 3

Caso 1 — interpretação: “crescente” = estritamente crescente.
Prova de que a afirmativa é verdadeira sob essa interpretação.
  • Tome x_1<x_2 em [f(a),f(b)] (domínio de g).
  • Como f\circ g é estritamente crescente, tem-se f(g(x_1))<f(g(x_2)).
  • Como f é estritamente crescente, f é injetiva e, portanto, preserva a desigualdade na direção inversa: de f(u)<f(v) segue u<v. Aplicando isso com u=g(x_1) e v=g(x_2) obtemos g(x_1)<g(x_2).
  • Como isso vale para quaisquer x_1<x_2, concluímos que g é estritamente crescente.
Observação: nessa prova não foi usada a derivabilidade; bastou a monotonicidade estrita de f e f\circ g. Portanto, sob a interpretação “estritamente crescente”, a afirmativa é verdadeira.

Passo 4

Caso 2 — interpretação: “crescente” = não decrescente (isto é, [h(x_1)\le h(x_2)) para x_1<x_2).
Vou dar um contraexemplo que satisfaz todas as hipóteses do enunciado (com esta interpretação) e tal que g não é crescente.
Construa f e g assim:
  • Defina f em [0,2] por f(x)=\begin{cases} 0, & 0\le x\le 1,\\[4pt] 3(x-1)^2-2(x-1)^3, & 1\le x\le 2. \end{cases}Aqui usei a função cúbica padrão de ligação p(t)=3t^2-2t^3\] em \(t=x-1, que satisfaz p(0)=0, p'(0)=0, p(1)=1, p'(1)=0. Assim f é contínua e tem derivada à esquerda e à direita iguais em x=1, isto é, f é diferenciável em todo [0,2]. Além disso f é não decrescente: é constante em [0,1] e cresce em [1,2]. Temos f(0)=0 e f(2)=1.
  • Tome g em [f(0),f(2)]=[0,1] definida por g(x)=1-x.Esta g é derivável em [0,1] e é estritamente decrescente (logo não crescente).
Verificações das hipóteses:
  • f é derivável em [0,2] por construção (a peça polinomial liga-se com derivada zero em x=1).
  • g é derivável em [0,1].
  • f é não decrescente (crescente no sentido “não decrescente”).
  • Calcule f\circ g: para x\in[0,1] temos g(x)=1-x\in[0,1], e como f é zero em todo [0,1], resulta (f\circ g)(x)=f(1-x)=0\quad\text{para todo }x\in[0,1].Assim f\circ g é constante em [0,1] e portanto é não decrescente.
  • Porém g é decrescente (não crescente). Logo as hipóteses do enunciado são satisfeitas, mas a conclusão " g é crescente" é falsa neste exemplo.
Portanto, sob a interpretação “crescente = não decrescente”, a afirmativa é falsa.]

Passo 5

Síntese final (clareza do que vale e do que não vale):
  • Se por “crescente” se entende estritamente crescente, a afirmativa é verdadeira e a prova é imediata pela injetividade de f (ver Passo 3).
  • Se por “crescente” se entende apenas não decrescente, a afirmativa é falsa: o contraexemplo do Passo 4 mostra f não decrescente e f\circ g não decrescente enquanto g é decrescente.

Resposta

Verdadeira se “crescente” significar estritamente crescente; falsa se “crescente” significar apenas não decrescente (contraexemplo fornecido).

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