Diga se as afirmativas são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
Se uma função
é derivável no intervalo fechado
e
é derivável no intervalo fechado
com
e
funções crescentes então
é crescente.
Se uma função
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é derivável no intervalo fechado . -
é derivável no intervalo fechado . - As funções
e são crescentes.
A pergunta é: a partir disso, pode-se concluir queé crescente? Deve-se decidir se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar.
Passo 2
Antes de tentar provar ou refutar, é importante esclarecer o significado de “crescente”, porque a conclusão depende disso. Existem duas interpretações comuns:
- “Crescente” = estritamente crescente: para
tem-se . - “Crescente” = não decrescente (às vezes chamado apenas “crescente” em linguagem menos precisa): para
tem-se .
Vou tratar as duas interpretações separadamente: primeiro mostro que, se “crescente” for estritamente crescente, a afirmativa é verdadeira; depois mostro que, se “crescente” significar apenas não decrescente, a afirmativa é falsa por contraexemplo.
Passo 3
Caso 1 — interpretação: “crescente” = estritamente crescente.
Prova de que a afirmativa é verdadeira sob essa interpretação.
Prova de que a afirmativa é verdadeira sob essa interpretação.
- Tome
em (domínio de ). - Como
é estritamente crescente, tem-se - Como
é estritamente crescente, é injetiva e, portanto, preserva a desigualdade na direção inversa: de segue . Aplicando isso com e obtemos - Como isso vale para quaisquer
, concluímos que é estritamente crescente.
Observação: nessa prova não foi usada a derivabilidade; bastou a monotonicidade estrita de
e
. Portanto, sob a interpretação “estritamente crescente”, a afirmativa é verdadeira.
Passo 4
Caso 2 — interpretação: “crescente” = não decrescente (isto é, [h(x_1)\le h(x_2)) para
).
Vou dar um contraexemplo que satisfaz todas as hipóteses do enunciado (com esta interpretação) e tal que não é crescente.
Vou dar um contraexemplo que satisfaz todas as hipóteses do enunciado (com esta interpretação) e tal que
Construa
e
assim:
- Defina
em por Aqui usei a função cúbica padrão de ligação , que satisfaz , , , . Assim é contínua e tem derivada à esquerda e à direita iguais em , isto é, é diferenciável em todo . Além disso é não decrescente: é constante em e cresce em . Temos e . - Tome
em definida por Esta é derivável em e é estritamente decrescente (logo não crescente).
Verificações das hipóteses:
-
é derivável em por construção (a peça polinomial liga-se com derivada zero em ). -
é derivável em . -
é não decrescente (crescente no sentido “não decrescente”). - Calcule
: para temos , e como é zero em todo , resulta Assim é constante em e portanto é não decrescente. - Porém
é decrescente (não crescente). Logo as hipóteses do enunciado são satisfeitas, mas a conclusão " é crescente" é falsa neste exemplo.
Portanto, sob a interpretação “crescente = não decrescente”, a afirmativa é falsa.]
Passo 5
Síntese final (clareza do que vale e do que não vale):
- Se por “crescente” se entende estritamente crescente, a afirmativa é verdadeira e a prova é imediata pela injetividade de
(ver Passo 3). - Se por “crescente” se entende apenas não decrescente, a afirmativa é falsa: o contraexemplo do Passo 4 mostra
não decrescente e não decrescente enquanto é decrescente.
Resposta
Verdadeira se “crescente” significar estritamente crescente; falsa se “crescente” significar apenas não decrescente (contraexemplo fornecido).