Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado (tudo pego do próprio enunciado):
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - Para
próximo de a base é positiva (próxima de ), logo o logaritmo natural está bem definido. - Ao aproximar
de , o expoente tende a infinito com sinal dependendo do lado de aproximação: - se
então e ; - se
então e .
- se
- O enunciado pede o limite bilateral; se os dois limites laterais forem diferentes, o limite bilateral não existe.
Passo 2
Estratégia técnica (apenas explicação do passo a passo que será usado):
- Quando aparece uma expressão do tipo
com , é conveniente tomar logaritmo: definindo obtemos . - Depois calculamos
. Se então . Se então . Se então . - Aqui tomamos
e vamos estudar .
Passo 3
Calcular
e analisar o comportamento:
Explicando cada parte:
é contínua perto de
e
. O denominador
tende a zero quando
, por isso a razão pode divergir para
ou
dependendo do sinal de
. Vamos separar os dois lados.
Passo 4
Limite pela esquerda (
):
- Se
então (denominador é um número positivo muito pequeno). - O numerador
tende para , que é positivo. - Logo a razão
tende para (positivo dividido por um número positivo cada vez menor dá um valor positivo arbitrariamente grande).
Como
, segue que
Intuição curta: para bases próximas de
e expoente que vai para
, a potência explode para
.
Passo 5
Limite pela direita (
):
- Se
então (denominador é um número negativo muito pequeno). - O numerador
tende para . - Então a razão
tende para (positivo dividido por um número negativo com módulo tendendo a zero dá um número negativo com módulo arbitrariamente grande).
Como
, obtemos
Intuição curta: base
com expoente que vai para
faz a potência decair até
.
Passo 6
Conclusão final sobre o limite bilateral:
- Os limites laterais são diferentes: o limite pela esquerda é
e o limite pela direita é . - Portanto o limite bilateral
não existe.
Resposta
O limite bilateral