Calcule:
\lim _{x \rightarrow 2} x^{\frac{1}{2-x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2} x^{\frac{1}{2-x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (tudo pego do próprio enunciado):
  • A função é f(x)=x^{\frac{1}{2-x}}.
  • O ponto de interesse é x\to 2.
  • Para x próximo de 2 a base x é positiva (próxima de 2), logo o logaritmo natural \ln x está bem definido.
  • Ao aproximar x de 2, o expoente \dfrac{1}{2-x} tende a infinito com sinal dependendo do lado de aproximação:
    • se x\to 2^- então 2-x\to 0^+ e \dfrac{1}{2-x}\to +\infty;
    • se x\to 2^+ então 2-x\to 0^- e \dfrac{1}{2-x}\to -\infty.
  • O enunciado pede o limite bilateral; se os dois limites laterais forem diferentes, o limite bilateral não existe.

Passo 2

Estratégia técnica (apenas explicação do passo a passo que será usado):
  • Quando aparece uma expressão do tipo x^{g(x)} com x>0, é conveniente tomar logaritmo: definindo y=x^{g(x)} obtemos \ln y = g(x)\,\ln x.
  • Depois calculamos \lim \ln y. Se \lim \ln y = L\in\mathbb{R} então \lim y = e^{L}. Se \lim \ln y = +\infty então \lim y = +\infty. Se \lim \ln y = -\infty então \lim y = 0.
  • Aqui tomamos y=x^{\frac{1}{2-x}} e vamos estudar \ln y=\dfrac{\ln x}{2-x}.

Passo 3

Calcular \ln y e analisar o comportamento:
\ln y = \frac{\ln x}{2-x}.
Explicando cada parte: \ln x é contínua perto de x=2 e \ln 2>0. O denominador 2-x tende a zero quando x\to 2, por isso a razão pode divergir para +\infty ou -\infty dependendo do sinal de 2-x. Vamos separar os dois lados.

Passo 4

Limite pela esquerda ( x\to 2^-):
  • Se x\to 2^- então 2-x\to 0^+ (denominador é um número positivo muito pequeno).
  • O numerador \ln x tende para \ln 2, que é positivo.
  • Logo a razão \dfrac{\ln x}{2-x} tende para +\infty (positivo dividido por um número positivo cada vez menor dá um valor positivo arbitrariamente grande).
\lim_{x\to 2^-} \frac{\ln x}{2-x} = +\infty.
Como \ln y \to +\infty, segue que
\lim_{x\to 2^-} y = \lim_{x\to 2^-} x^{\frac{1}{2-x}} = +\infty.
Intuição curta: para bases próximas de 2>1 e expoente que vai para +\infty, a potência explode para +\infty.

Passo 5

Limite pela direita ( x\to 2^+):
  • Se x\to 2^+ então 2-x\to 0^- (denominador é um número negativo muito pequeno).
  • O numerador \ln x tende para \ln 2>0.
  • Então a razão \dfrac{\ln x}{2-x} tende para -\infty (positivo dividido por um número negativo com módulo tendendo a zero dá um número negativo com módulo arbitrariamente grande).
\lim_{x\to 2^+} \frac{\ln x}{2-x} = -\infty.
Como \ln y \to -\infty, obtemos
\lim_{x\to 2^+} y = \lim_{x\to 2^+} x^{\frac{1}{2-x}} = 0.
Intuição curta: base >1 com expoente que vai para -\infty faz a potência decair até 0.

Passo 6

Conclusão final sobre o limite bilateral:
  • Os limites laterais são diferentes: o limite pela esquerda é +\infty e o limite pela direita é 0.
  • Portanto o limite bilateral \lim_{x\to 2} x^{\frac{1}{2-x}} não existe.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 2^-} x^{\frac{1}{2-x}} = +\infty
\displaystyle \lim_{x\to 2^+} x^{\frac{1}{2-x}} = 0
O limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 2} x^{\frac{1}{2-x}} não existe.

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