Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A base da potência é \,e^{x}+x\,.
  • O expoente é \dfrac{1}{x}, que tende a \pm\infty quando x\to0 (dependendo do lado), logo a expressão tem a aparência de uma indeterminação do tipo 1^\infty porque \lim_{x\to0} (e^{x}+x)=1.
  • Para tratar potências com expoente que depende de x, é comum usar logaritmo natural para transformar potência em produto; para isso é preciso que a base seja positiva próximo de x=0. Note que e^{x}>0 para todo x, portanto existe um entorno de 0 em que e^{x}+x>0 e a operação está bem definida.

Passo 2

Estratégia escolhida: tomar logaritmo natural e transformar a potência em exponencial do limite do logaritmo. Isto é um método padrão para limites do tipo f(x)^{g(x)}.
Definir
y(x)=\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}.
Tomando logaritmo natural,
\ln y(x)=\frac{1}{x}\ln\!\big(e^{x}+x\big).
Se existir o limite
\ell=\lim_{x\to 0}\ln y(x)=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\big(e^{x}+x\big)}{x},
então o limite pedido será
\lim_{x\to 0}y(x)=\exp(\ell)=e^{\ell}.
Portanto o problema reduz-se a calcular \ell=\lim_{x\to0}\dfrac{\ln\!\big(e^{x}+x\big)}{x}.

Passo 3

Verificar a forma indeterminada para poder usar l’Hôpital: quando x\to0,
\ln\!\big(e^{x}+x\big)\to\ln(1)=0 \qquad\text{e}\qquad x\to0,
então temos uma indeterminação 0/0. As condições do teorema de l’Hôpital estão satisfeitas (funções diferenciáveis perto de 0 e denominador com derivada não nula), então podemos derivar numerador e denominador e calcular o limite das derivadas.

Passo 4

Calcular a derivada do numerador \ln\!\big(e^{x}+x\big). Usando regra da cadeia e derivadas básicas:
  • Derivada de e^{x} é e^{x}.
  • Derivada de x é 1.
  • Derivada de \ln(u) é \dfrac{u'}{u}.
Assim
\frac{d}{dx}\ln\!\big(e^{x}+x\big)=\frac{e^{x}+1}{\,e^{x}+x\,}.
A derivada do denominador x é 1.

Passo 5

Aplicando l’Hôpital, o limite \ell é
\ell=\lim_{x\to0}\frac{\ln\!\big(e^{x}+x\big)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{e^{x}+1}{\,e^{x}+x\,}.
Agora podemos avaliar diretamente no ponto x=0 (as funções são contínuas lá):
\ell=\frac{e^{0}+1}{\,e^{0}+0\,}=\frac{1+1}{1}=2.

Passo 6

Voltando ao limite original: como \ell=2, segue que
\lim_{x\to0}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}=e^{\ell}=e^{2}.

Passo 7

Comentário didático rápido (intuição extra): outra forma de ver é usar séries:
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots\quad\Rightarrow\quad e^{x}+x=1+2x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots,
então \ln(e^{x}+x)=\ln(1+2x+\cdots)\approx 2x para x pequeno, e \dfrac{\ln(e^{x}+x)}{x}\approx 2, o que leva ao mesmo resultado e^{2}. Essa visão por séries confirma a conta feita com l’Hôpital.

Resposta

e^{2}

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