Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A base da potência é
. - O expoente é
, que tende a quando (dependendo do lado), logo a expressão tem a aparência de uma indeterminação do tipo porque . - Para tratar potências com expoente que depende de
, é comum usar logaritmo natural para transformar potência em produto; para isso é preciso que a base seja positiva próximo de . Note que para todo , portanto existe um entorno de em que e a operação está bem definida.
Passo 2
Estratégia escolhida: tomar logaritmo natural e transformar a potência em exponencial do limite do logaritmo. Isto é um método padrão para limites do tipo
.
Definir
Definir
Tomando logaritmo natural,
Se existir o limite
então o limite pedido será
Portanto o problema reduz-se a calcular
.
Passo 3
Verificar a forma indeterminada para poder usar l’Hôpital: quando
,
então temos uma indeterminação
. As condições do teorema de l’Hôpital estão satisfeitas (funções diferenciáveis perto de
e denominador com derivada não nula), então podemos derivar numerador e denominador e calcular o limite das derivadas.
Passo 4
Calcular a derivada do numerador
. Usando regra da cadeia e derivadas básicas:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Assim
A derivada do denominador
é
.
Passo 5
Aplicando l’Hôpital, o limite
é
Agora podemos avaliar diretamente no ponto
(as funções são contínuas lá):
Passo 6
Voltando ao limite original: como
, segue que
Passo 7
Comentário didático rápido (intuição extra): outra forma de ver é usar séries:
então
para
pequeno, e
, o que leva ao mesmo resultado
. Essa visão por séries confirma a conta feita com l’Hôpital.