Calcule
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - As alternativas oferecidas são
, , e . - Observação direta (apenas identificando): se fizermos substituição direta
obtemos numerador e denominador , ou seja a forma é indeterminada . Isso indica que precisamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação antes de avaliar o limite.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): vamos usar a técnica de racionalização do numerador. A ideia da racionalização é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar raízes. Para dois termos
e
, o conjugado de
é
e vale a identidade
Aqui tomamos
e
. Multiplicar por
vai transformar a diferença de raízes numa diferença de quadrados (sem raízes) no numerador, o que costuma permitir fatorar e cancelar o fator que causa a indeterminação. Multiplicamos a expressão por
que é igual a
, logo não altera o valor da expressão para
.
Passo 3
Aplicando a racionalização: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado e usamos a identidade do produto de conjugados. Obtemos
No numerador calculamos os quadrados das raízes:
Então o numerador fica
Passo 4
Fatoramos o polinômio do numerador e também o denominador para ver cancelamentos:
Substituindo essas fatorações na expressão obtida no passo anterior temos, para
,
Como estamos calculando um limite, podemos cancelar o fator comum
(já que consideramos
próximo de
mas diferente de
). Após o cancelamento a expressão simplificada é
Passo 5
Agora a expressão já é contínua em
, então podemos avaliar o limite substituindo
. Calculamos passo a passo:
-
com dá . -
com dá . -
com dá . -
com dá .
Substituindo na expressão simplificada:
Passo 6
Para deixar a resposta numa forma mais usual, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Portanto o limite vale
. Eu escolhi a racionalização do numerador porque é uma técnica direta e elementar (não usa cálculo de derivadas) e resolve bem indeterminações com raízes. Dá para verificar com a regra de L’Hôpital (tomando derivadas) e o resultado coincide, mas a racionalização é mais simples e rápida aqui.