Calcule \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x+1}}{x^{2}-4}
a) \sqrt{3}
b) \frac{\sqrt{3}}{2}
c) \frac{\sqrt{3}}{4}
d) \frac{\sqrt{3}}{8}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x+1}}{x^{2}-4}.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é \sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x+1}.
  • O denominador é x^{2}-4.
  • As alternativas oferecidas são \sqrt{3}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{4} e \dfrac{\sqrt{3}}{8}.
  • Observação direta (apenas identificando): se fizermos substituição direta x=2 obtemos numerador \sqrt{3}-\sqrt{3}=0 e denominador 4-4=0, ou seja a forma é indeterminada 0/0. Isso indica que precisamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação antes de avaliar o limite.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): vamos usar a técnica de racionalização do numerador. A ideia da racionalização é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar raízes. Para dois termos a e b, o conjugado de a-b é a+b e vale a identidade
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui tomamos a=\sqrt{x^{2}-1} e b=\sqrt{x+1}. Multiplicar por a+b vai transformar a diferença de raízes numa diferença de quadrados (sem raízes) no numerador, o que costuma permitir fatorar e cancelar o fator que causa a indeterminação. Multiplicamos a expressão por
\frac{\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x+1}}
que é igual a 1, logo não altera o valor da expressão para x\neq 2.

Passo 3

Aplicando a racionalização: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado e usamos a identidade do produto de conjugados. Obtemos
\frac{\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x+1}}{x^{2}-4}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x+1}} = \frac{(\sqrt{x^{2}-1})^{2}-(\sqrt{x+1})^{2}}{(x^{2}-4)\big(\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x+1}\big)}.
No numerador calculamos os quadrados das raízes:
(\sqrt{x^{2}-1})^{2}=x^{2}-1,\qquad (\sqrt{x+1})^{2}=x+1.
Então o numerador fica
x^{2}-1-(x+1)=x^{2}-x-2.

Passo 4

Fatoramos o polinômio do numerador e também o denominador para ver cancelamentos:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1),
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Substituindo essas fatorações na expressão obtida no passo anterior temos, para x\neq 2,
\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)\big(\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x+1}\big)}.
Como estamos calculando um limite, podemos cancelar o fator comum (x-2) (já que consideramos x próximo de 2 mas diferente de 2). Após o cancelamento a expressão simplificada é
\frac{x+1}{(x+2)\big(\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x+1}\big)}.

Passo 5

Agora a expressão já é contínua em x=2, então podemos avaliar o limite substituindo x=2. Calculamos passo a passo:
  • x+1 com x=2 2+1=3.
  • x+2 com x=2 2+2=4.
  • \sqrt{x^{2}-1} com x=2 \sqrt{4-1}=\sqrt{3}.
  • \sqrt{x+1} com x=2 \sqrt{3}.
Substituindo na expressão simplificada:
\lim_{x\to 2}\frac{x+1}{(x+2)\big(\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x+1}\big)} =\frac{3}{4\big(\sqrt{3}+\sqrt{3}\big)} =\frac{3}{4\cdot 2\sqrt{3}} =\frac{3}{8\sqrt{3}}.

Passo 6

Para deixar a resposta numa forma mais usual, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}:
\frac{3}{8\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{8\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{8}.
Portanto o limite vale \dfrac{\sqrt{3}}{8}. Eu escolhi a racionalização do numerador porque é uma técnica direta e elementar (não usa cálculo de derivadas) e resolve bem indeterminações com raízes. Dá para verificar com a regra de L’Hôpital (tomando derivadas) e o resultado coincide, mas a racionalização é mais simples e rápida aqui.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{8}

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