Derive cada função abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
.
Informações dadas e observações imediatas: exige
, portanto o domínio natural de
é
. A tarefa é calcular
(a derivada) quando ela existir.
Informações dadas e observações imediatas:
Passo 2
Ideia geral (sem formalizar ainda): a função é uma composição de duas funções: a parte externa é
e a parte interna é
. Quando temos uma composição
, usamos a regra da cadeia para derivar: a derivada é
. Vou explicar essa regra com calma no próximo passo para você entender direitinho.
Passo 3
Explicando a regra da cadeia de forma bem direta: se
, então
Aqui
significa a derivada de
em relação ao seu argumento
, e
é a derivada de
em relação a
. A regra diz: derivar a função externa mantendo o interno (avaliando em
) e multiplicar pela derivada do interno. É como “descer” um nível por vez.
Passo 4
Precisamos das derivadas das duas peças:
- Derivada de
em função de . Uma forma didática de obter isso é por diferenciação implícita: ponha . Então . Derivando ambos os lados em relação a (trabalhando implicitamente),
Logo
Como
e
, substituímos:
Isso significa: se
, então
.
- Derivada de
. Escreva . Pela regra do expoente (regra do poder),
válido para
. (Em
essa fórmula dá divisão por zero; veremos o que ocorre no fim.)
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia com
e
. Pelas fórmulas encontradas:
Substituindo
e observando que
, obtemos
Lembre que, ao calcular
, assumimos
. Portanto esta expressão é válida para
.
Passo 6
Analisando o ponto
: a função está definida em
(
), mas a derivada que encontramos tem
no denominador, o que sugere problema em
. Podemos verificar o limite do quociente incremental:
Para
pequeno,
. Logo para
pequeno a expressão se comporta como
Portanto a derivada lateral direita em
diverge para
e não existe (não é um número finito). Concluímos que
não existe.
Passo 7
Resumo prático para a prova: memorize o passo a passo — identificar a função externa e interna, derivar cada uma (a derivada de
é
e a de
é
), e aplicar a regra da cadeia. Sempre cheque pontos onde a fórmula da derivada interna pode causar divisão por zero (aqui,
).
Resposta
A derivada não existe em