Derive cada função abaixo.
f(x)=\operatorname{arctg} \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função \displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{x}.
Informações dadas e observações imediatas: \sqrt{x} exige x\ge 0, portanto o domínio natural de f é [0,\infty). A tarefa é calcular f'(x) (a derivada) quando ela existir.

Passo 2

Ideia geral (sem formalizar ainda): a função é uma composição de duas funções: a parte externa é \operatorname{arctg}(\cdot) e a parte interna é \sqrt{x}. Quando temos uma composição F(x)=g(h(x)), usamos a regra da cadeia para derivar: a derivada é g'(h(x))\cdot h'(x). Vou explicar essa regra com calma no próximo passo para você entender direitinho.

Passo 3

Explicando a regra da cadeia de forma bem direta: se \displaystyle F(x)=g(h(x)), então
F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Aqui g'(u) significa a derivada de g em relação ao seu argumento u, e h'(x) é a derivada de h em relação a x. A regra diz: derivar a função externa mantendo o interno (avaliando em h(x)) e multiplicar pela derivada do interno. É como “descer” um nível por vez.

Passo 4

Precisamos das derivadas das duas peças:
  1. Derivada de \operatorname{arctg}(u) em função de u. Uma forma didática de obter isso é por diferenciação implícita: ponha y=\operatorname{arctg}(u). Então \tan y = u. Derivando ambos os lados em relação a u (trabalhando implicitamente),
\operatorname{sec}^{2}y\cdot\frac{dy}{du}=1.
Logo
\frac{dy}{du}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y}.
Como \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y e \tan y=u, substituímos:
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arctg}(u)\bigr)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Isso significa: se g(u)=\operatorname{arctg}(u), então g'(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}.
  1. Derivada de \sqrt{x}. Escreva \sqrt{x}=x^{1/2}. Pela regra do expoente (regra do poder),
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
válido para x>0. (Em x=0 essa fórmula dá divisão por zero; veremos o que ocorre no fim.)

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia com g(u)=\operatorname{arctg}(u) e u(x)=\sqrt{x}. Pelas fórmulas encontradas:
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x)=\frac{1}{1+u(x)^{2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Substituindo u(x)=\sqrt{x} e observando que (\sqrt{x})^{2}=x, obtemos
f'(x)=\frac{1}{1+x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}.
Lembre que, ao calcular u'(x)=1/(2\sqrt{x}), assumimos x>0. Portanto esta expressão é válida para x>0.

Passo 6

Analisando o ponto x=0: a função está definida em x=0 ( \operatorname{arctg}\sqrt{0}=\operatorname{arctg}0=0), mas a derivada que encontramos tem \sqrt{x} no denominador, o que sugere problema em x=0. Podemos verificar o limite do quociente incremental:
\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{arctg}\sqrt{x}-\operatorname{arctg}0}{x-0} =\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{arctg}\sqrt{x}}{x}.
Para t pequeno, \operatorname{arctg}t\sim t. Logo para x pequeno a expressão se comporta como
\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\to +\infty\quad\text{quando }x\to 0^+.
Portanto a derivada lateral direita em 0 diverge para +\infty e não existe (não é um número finito). Concluímos que f'(0) não existe.

Passo 7

Resumo prático para a prova: memorize o passo a passo — identificar a função externa e interna, derivar cada uma (a derivada de \operatorname{arctg}u é \dfrac{1}{1+u^{2}} e a de \sqrt{x} é \dfrac{1}{2\sqrt{x}}), e aplicar a regra da cadeia. Sempre cheque pontos onde a fórmula da derivada interna pode causar divisão por zero (aqui, x=0).

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)} para x>0.
A derivada não existe em x=0.

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