Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço ao lado do item e justificando a sua resposta.
Considere o problema de determinar g(t) tal que \mathcal{L}[g(t)](s)=(5 s-3) /\left(25 s^{2}-30 s+5\right). Nesse sentido, observe que \mathcal{L}[g(t)](s)=F(5 s), onde F(v) é a função dada por F(v)=(v-3) /\left(v^{2}-6 v+5\right), e não é difícil calcular a função f(t) tal que \mathcal{L}[f(t)](v)=F(v). Resta então obter a relação entre as funções f(t) e g(t).
C E
a) Usando frações parciais obtém-se que F(v)=\frac{A}{v-1}+\frac{B}{v-5}
\operatorname{com} A=-B.
C b) A transformada inversa de \frac{1}{v-5} e a função \mathrm{e}^{5 t}.
C E) Calculando, obtém-se que f(t)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{t}-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{5 t}.
C E
d) Usando a substituição v =\frac{1}{5} t obtém-se que \mathcal{L}\left[\frac{1}{5} f\left(\frac{1}{5} t\right)\right](s)=F(5 s).
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline C & e) Usando a relação entre as funções f(t) e g(t) obtém-se que g(t)=\frac{1}{10} \mathrm{e}^{t / 5}+\frac{1}{10} \mathrm{e}^{t}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada item (a)–(e) é certo (C) ou errado (E) e justificar. Dados e informações relevantes:
  • Queremos g(t) tal que \mathcal{L}[g(t)](s)=\dfrac{5s-3}{25s^{2}-30s+5}.
  • Foi definido F(v)=\dfrac{v-3}{v^{2}-6v+5} e observado que \mathcal{L}[g(t)](s)=F(5s).
  • A função f(t) é definida por f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(v)](t).
  • Os itens a)–e) a avaliar são:
    a) Ao decompor F(v) em frações parciais, obtém-se F(v)=\dfrac{A}{v-1}+\dfrac{B}{v-5} com A=-B.
    b) A transformada inversa de \dfrac{1}{v-5} é a função \mathrm{e}^{5t}.
    c) Calculando, obtém-se f(t)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{t}-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{5t}.
    d) Usando a substituição v=\dfrac{1}{5}t obtém-se \mathcal{L}\!\left[\dfrac{1}{5}f\!\left(\dfrac{1}{5}t\right)\right](s)=F(5s).
    e) Usando a relação entre f e g obtém-se g(t)=\dfrac{1}{10}\mathrm{e}^{t/5}+\dfrac{1}{10}\mathrm{e}^{t}.

Passo 2

Decomposição em frações parciais de F(v)\). Primeiro escrevo a forma fatorada do denominador: \[F(v)=\frac{v-3}{(v-1)(v-5)}.
Assumo a decomposição
\frac{v-3}{(v-1)(v-5)}=\frac{A}{v-1}+\frac{B}{v-5}.
Multiplico ambos os lados por (v-1)(v-5):
v-3 = A(v-5)+B(v-1).
Desenvolvo o lado direito:
v-3 = (A+B)v + (-5A - B).
Comparando coeficientes do polinômio em v:
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] -5A - B = -3. \end{cases}
Da primeira equação (B=1-A]. Substituo na segunda:
-5A - (1-A) = -3 \quad\Rightarrow\quad -5A -1 + A = -3,
-4A = -2 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
Logo B=1-A=\tfrac{1}{2}. Portanto A=B=\tfrac{1}{2}, que é incompatível com a afirmação A=-B. Conclusão: o item (a) é errado (E). Justificativa: cálculo explícito dá A=B=\tfrac{1}{2}.]

Passo 3

Transformada inversa elementar e conclusão sobre (b). Lembrete da propriedade básica (par de Laplace): para constante a válida,
\mathcal{L}\big[\mathrm{e}^{a t}\big](v) = \frac{1}{v-a},
para valores de v com parte real maior que a. Assim a transformada inversa é
\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{v-5}\right](t)=\mathrm{e}^{5t}.
Portanto o item (b) é certo (C).

Passo 4

Cálculo explícito de f(t) e verificação do item (c). Usando os resultados do Passo 2 escrevo F(v) nas frações parciais:
F(v)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{v-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{v-5}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo (usando \mathcal{L}^{-1}\!\big[\tfrac{1}{v-a}\big]=\mathrm{e}^{a t}):
f(t)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{1\cdot t}+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{5\cdot t}=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t}+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{5t}.
Comparando com a afirmação do item (c) que dizia f(t)=\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{t}-\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{5t}, vemos que o sinal do segundo termo está errado. Conclusão: o item (c) é errado (E).

Passo 5

Relação entre f e g e verificação do item (d). Vou deduzir a regra de escala que conecta F e g. Seja F(v)=\mathcal{L}[f(t)](v)=\int_{0}^{\infty}e^{-v t}f(t)\,dt. Considere a função h(t)=f(t/a) com a>0. Então sua transformada é
\mathcal{L}[h](s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f\!\left(\frac{t}{a}\right)\,dt.
Faço a mudança de variável u=\dfrac{t}{a}, então t=au e dt=a\,du. Assim
\mathcal{L}[f(t/a)](s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s a u}f(u)\,a\,du = a\,F(as).
Logo, multiplicando por constante, se eu definir g(t)=\dfrac{1}{a}f(t/a) obtenho
\mathcal{L}[g](s)=\frac{1}{a}\mathcal{L}[f(t/a)](s)=\frac{1}{a}\big(a\,F(as)\big)=F(as).
No nosso caso queremos F(5s), logo escolho a=5 e obtenho
\mathcal{L}\!\left[\frac{1}{5}f\!\left(\frac{t}{5}\right)\right](s)=F(5s).
Isto coincide com a fórmula escrita no item (d) (note que f(\tfrac{1}{5}t) é a mesma expressão que f(t/5)). Portanto o item (d) é certo (C).

Passo 6

Cálculo de g(t) e verificação do item (e). Já temos f(t)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{t}+\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{5t} (Passo 4) e a relação g(t)=\dfrac{1}{5}f(t/5) (Passo 5). Faço a substituição:
g(t)=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t/5}+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{5\cdot(t/5)}\right) =\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t/5}+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t}\right).
Simplificando:
g(t)=\frac{1}{10}\mathrm{e}^{t/5}+\frac{1}{10}\mathrm{e}^{t}.
Isso coincide exatamente com a afirmação do item (e). Portanto o item (e) é certo (C).

Resposta

a) E
b) C
c) E
d) C
e) C

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