Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço ao lado do item e justificando a sua resposta.
Considere o problema de determinar
tal que
. Nesse sentido, observe que
, onde
é a função dada por
, e não é difícil calcular a função
tal que
. Resta então obter a relação entre as funções
e
.
C
E
a) Usando frações parciais obtém-se que
.
C
b) A transformada inversa de
e a função
.
C
E) Calculando, obtém-se que
.
C
E
d) Usando a substituição
obtém-se que
.
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline C & e) Usando a relação entre as funções
e
obtém-se que
.
Considere o problema de determinar
| C | E |
| C | b) A transformada inversa de
|
| C | E) Calculando, obtém-se que
|
| C | E |
| d) Usando a substituição
|
|
\hline C & e) Usando a relação entre as funções
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada item (a)–(e) é certo (C) ou errado (E) e justificar. Dados e informações relevantes:
- Queremos
tal que . - Foi definido
e observado que . - A função
é definida por . - Os itens a)–e) a avaliar são:
a) Ao decomporem frações parciais, obtém-se com .
b) A transformada inversa deé a função .
c) Calculando, obtém-se.
d) Usando a substituiçãoobtém-se .
e) Usando a relação entree obtém-se .
Passo 2
Decomposição em frações parciais de
Assumo a decomposição
Multiplico ambos os lados por
:
Desenvolvo o lado direito:
Comparando coeficientes do polinômio em
:
Da primeira equação (B=1-A]. Substituo na segunda:
Logo
. Portanto
, que é incompatível com a afirmação
. Conclusão: o item (a) é errado (E). Justificativa: cálculo explícito dá
.]
Passo 3
Transformada inversa elementar e conclusão sobre (b). Lembrete da propriedade básica (par de Laplace): para constante
válida,
para valores de
com parte real maior que
. Assim a transformada inversa é
Portanto o item (b) é certo (C).
Passo 4
Cálculo explícito de
e verificação do item (c). Usando os resultados do Passo 2 escrevo
nas frações parciais:
Aplicando a transformada inversa termo a termo (usando
):
Comparando com a afirmação do item (c) que dizia
, vemos que o sinal do segundo termo está errado. Conclusão: o item (c) é errado (E).
Passo 5
Relação entre
e
e verificação do item (d). Vou deduzir a regra de escala que conecta
e
. Seja
. Considere a função
com
. Então sua transformada é
Faço a mudança de variável
, então
e
. Assim
Logo, multiplicando por constante, se eu definir
obtenho
No nosso caso queremos
, logo escolho
e obtenho
Isto coincide com a fórmula escrita no item (d) (note que
é a mesma expressão que
). Portanto o item (d) é certo (C).
Passo 6
Cálculo de
e verificação do item (e). Já temos
(Passo 4) e a relação
(Passo 5). Faço a substituição:
Simplificando:
Isso coincide exatamente com a afirmação do item (e). Portanto o item (e) é certo (C).
Resposta
a) E
b) C
c) E
d) C
e) C
b) C
c) E
d) C
e) C