Calcule
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}
Aqui o conteúdo é estudo de limites que envolvem divisão por algo que tende a zero. Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, veja o que acontece com o numerador e com o denominador separadamente ao aproximar x de 1:
  • Numerador: \sqrt{x+1}\to\sqrt{2}, que é um número finito e diferente de zero.
  • Denominador: x-1\to0.
Como temos divisão por algo que tende a zero, o quociente tende a um valor infinito. Mas o sinal desse infinito depende de como o denominador se aproxima de zero.

Passo 3

Calcule o limite pela direita x\to1^+: \sqrt{x+1} fica próximo de \sqrt{2}>0, e x-1 é pequeno e positivo, logo
\lim_{x\to1^+}\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}=+\infty.

Passo 4

Calcule o limite pela esquerda x\to1^-: \sqrt{x+1} fica próximo de \sqrt{2}>0, mas agora x-1 é pequeno e negativo, logo
\lim_{x\to1^-}\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}=-\infty.
Como os limites laterais não coincidem ( +\infty de um lado e -\infty do outro), o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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