Escolha um dos itens mostrados a continuação e encontre os vetores tangente, normal e binormal unitários da curva espacial dada por:
r(t)=\left(e^{t} \cos (t), e^{t} \operatorname{sen}(t), t\right), t \in \mathbb{R} no ponto (1,0,0).

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;t\bigr),\quad t\in\mathbb{R},
e pede os vetores tangente, normal e binormal unitários no ponto (1,0,0).
Para isso precisamos:
  1. Encontrar o parâmetro t_0 tal que r(t_0)=(1,0,0).
  2. Calcular r'(t) e r''(t).
  3. Avaliar em t_0 e obter T(t_0)=\frac{r'(t_0)}{\|r'(t_0)\|},\quad N(t_0)=\frac{T'(t_0)}{\|T'(t_0)\|},\quad B(t_0)=T(t_0)\times N(t_0).

Passo 2

Descobrindo t_0: da terceira componente de r(t) vem t_0=0. Verificamos nas duas primeiras:
x(0)=e^0\cos0=1,\quad y(0)=e^0\sin0=0,
logo r(0)=(1,0,0) e t_0=0.

Passo 3

Calculamos
r'(t)=\bigl(e^t(\cos t-\sin t),\;e^t(\sin t+\cos t),\;1\bigr).
Em t=0 isso é
r'(0)=(1,1,1),\qquad \|r'(0)\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
Logo o vetor tangente unitário é
T(0)=\frac{r'(0)}{\|r'(0)\|} =\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Para o normal precisamos de r''(t):
r''(t)=\bigl(-2e^t\sin t,\;2e^t\cos t,\;0\bigr).
Em t=0 r''(0)=(0,2,0).
Usamos a fórmula
T'(0) =\frac{r''(0)\,\|r'(0)\|-\bigl(r'(0)\cdot r''(0)\bigr)\,\frac{r'(0)}{\|r'(0)\|}} {\|r'(0)\|^2},
com r'(0)\cdot r''(0)=2. Após simplificar obtemos
T'(0)=\frac{(-2,4,-2)}{3\sqrt{3}}, \qquad \|T'(0)\|=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Portanto o normal unitário é
N(0)=\frac{T'(0)}{\|T'(0)\|} =\frac{(-2,4,-2)}{3\sqrt{3}}\;\bigg/\;\frac{2\sqrt{2}}{3} =\frac{(-1,2,-1)}{\sqrt{6}}.

Passo 5

Finalmente o binormal é
B(0)=T(0)\times N(0) =\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}\times\frac{(-1,2,-1)}{\sqrt{6}} =\frac{(-1,0,1)}{\sqrt{2}}.

Resposta

T(0)=\dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{3}},
N(0)=\dfrac{(-1,2,-1)}{\sqrt{6}},
B(0)=\dfrac{(-1,0,1)}{\sqrt{2}}.

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