Calcule
\lim _{x \rightarrow-1} \sqrt[3]{\frac{x}{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle\lim_{x\to -1}\sqrt[3]{\frac{x}{x+1}}. Note que ao substituir x=-1 diretamente, o denominador x+1 vai a zero, gerando uma forma de tipo “constante dividido por zero”. Portanto precisamos estudar os limites laterais e usar que a função \sqrt[3]{\,\cdot\,} é estritamente crescente e preserva sinais e infinitos.

Passo 2

Analisando x\to -1^+: nesse caso x+1>0 pequeno e x\approx -1 faz \frac{x}{x+1}\approx\frac{-1}{\text{pequeno }>0}=-\infty. Como a raiz cúbica é crescente e ímpar,
\sqrt[3]{\frac{x}{x+1}}\;\longrightarrow\;\sqrt[3]{-\infty}=-\infty.

Passo 3

Analisando x\to -1^-: agora x+1<0 pequeno e x\approx -1 faz \frac{x}{x+1}\approx\frac{-1}{\text{pequeno }<0}=+\infty. Logo
\sqrt[3]{\frac{x}{x+1}}\;\longrightarrow\;\sqrt[3]{+\infty}=+\infty.

Passo 4

Como os limites laterais diferem (um vai a -\infty e o outro a +\infty), o limite bilaterial não existe.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{x\to -1}\sqrt[3]{\frac{x}{x+1}} não existe.

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