Encontre as soluções gerais para as EDO abaixo:
y^{\prime}=\frac{x^{2}}{y\left(1+x^{3}\right)}

Passo 1

O enunciado traz a equação diferencial
y' = \frac{x^{2}}{y\bigl(1+x^{3}\bigr)}
Este é um caso clássico de equação de variáveis separáveis. Para resolver, vamos colocar todos os termos com y de um lado e os com x de outro e, em seguida, integrar ambos os lados.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo y'=\frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{y\bigl(1+x^{3}\bigr)} \quad\Longrightarrow\quad y\,dy = \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
\int y\,dy = \int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx
No lado esquerdo temos
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C_{1}.
No direito, fazemos a substituição u=1+x^{3}, de modo que du = 3x^{2}\,dx. Logo,
\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{3}\ln\bigl|u\bigr| + C_{2} = \frac{1}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr| + C_{2}.
Igualando os resultados e agrupando constantes:
\frac{y^{2}}{2} = \frac{1}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr| + C

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 2 e redefinimos a constante para obter a forma final:
y^{2} = \frac{2}{3}\,\ln\bigl|1+x^{3}\bigr| + C_{*}
Dessa expressão extraímos a solução geral para y:

Resposta

y(x) = \pm \sqrt{\frac{2}{3}\,\ln\bigl|1+x^{3}\bigr| + C_{*}}

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