Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
da expressão
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função que aparece é a tangente, avaliada em
. - O ponto onde o limite é pedido é
. - Não há indícios de que a expressão seja indefinida de forma especial além do comportamento da tangente em
.
Passo 2
Estratégia básica (sem resolver ainda): é útil fazer a mudança de variável
porque quando
temos também
. Com essa mudança a expressão fica mais simples de comparar com limites padrões. Substituindo,
Como
, temos
. Então
Portanto o limite procurado se relaciona ao limite clássico
. O próximo passo é estudar esse limite clássico.
Passo 3
Lembra: um limite trigonômétrico padrão e muito usado é
Vou explicar por que isso vale, de forma direta e geométrica-algébrica (a ideia clássica por desigualdade). Para
vale a desigualdade geométrica
Esta desigualdade vem de comparar áreas/segmentos no círculo unitário (ou, de forma mais direta, usar a desigualdade
e manipular). O que importa aqui é que, ao tomar limites quando
, como
, o termo do meio
fica “espremido” entre quantidades que tendem a
. Pelo Teorema do Sanduíche (teorema do confronto) concluímos
Nota rápida: a função
é par (o mesmo valor para
e
), então o limite lateral à esquerda também é
, garantindo o limite total.
Passo 4
Agora relacionamos
com
. Usamos a identidade
Logo
Sabemos que
(Passo 3) e que
(continuidade do cosseno). Como produto/razão de limites (quando os limites existem e denominador é não nulo), obtemos
Passo 5
Voltemos à expressão do Passo 2:
Tomando limite quando
(equivalente a
) e usando o resultado do Passo 4,