Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (2026 x)}{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x \to 0 da expressão
\frac{\tan(2026\,x)}{x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função que aparece é a tangente, avaliada em 2026\,x.
  • O ponto onde o limite é pedido é x=0.
  • Não há indícios de que a expressão seja indefinida de forma especial além do comportamento da tangente em 0.

Passo 2

Estratégia básica (sem resolver ainda): é útil fazer a mudança de variável
u = 2026\,x,
porque quando x \to 0 temos também u \to 0. Com essa mudança a expressão fica mais simples de comparar com limites padrões. Substituindo,
\frac{\tan(2026\,x)}{x} = \frac{\tan(u)}{x}.
Como u=2026\,x, temos x=\dfrac{u}{2026}. Então
\frac{\tan(2026\,x)}{x} = \frac{\tan(u)}{u/2026} = 2026\cdot\frac{\tan(u)}{u}.
Portanto o limite procurado se relaciona ao limite clássico \lim_{u\to 0}\dfrac{\tan u}{u}. O próximo passo é estudar esse limite clássico.

Passo 3

Lembra: um limite trigonômétrico padrão e muito usado é
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} = 1.
Vou explicar por que isso vale, de forma direta e geométrica-algébrica (a ideia clássica por desigualdade). Para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1.
Esta desigualdade vem de comparar áreas/segmentos no círculo unitário (ou, de forma mais direta, usar a desigualdade \sin u < u < \tan u e manipular). O que importa aqui é que, ao tomar limites quando u\to 0^+, como \cos u \to 1, o termo do meio \dfrac{\sin u}{u} fica “espremido” entre quantidades que tendem a 1. Pelo Teorema do Sanduíche (teorema do confronto) concluímos
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} = 1.
Nota rápida: a função \dfrac{\sin u}{u} é par (o mesmo valor para u e -u), então o limite lateral à esquerda também é 1, garantindo o limite total.

Passo 4

Agora relacionamos \dfrac{\tan u}{u} com \dfrac{\sin u}{u}. Usamos a identidade
\tan u = \frac{\sin u}{\cos u}.
Logo
\frac{\tan u}{u} = \frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u}.
Sabemos que \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u} = 1 (Passo 3) e que \lim_{u\to 0}\cos u = 1 (continuidade do cosseno). Como produto/razão de limites (quando os limites existem e denominador é não nulo), obtemos
\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u} = 1\cdot\frac{1}{1} = 1.

Passo 5

Voltemos à expressão do Passo 2:
\frac{\tan(2026\,x)}{x} = 2026\cdot\frac{\tan(u)}{u}, \quad\text{com } u=2026\,x.
Tomando limite quando x\to 0 (equivalente a u\to 0) e usando o resultado do Passo 4,
\lim_{x\to 0}\frac{\tan(2026\,x)}{x} = 2026\cdot\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u} = 2026\cdot 1 = 2026.

Resposta

2026

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