Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
\int_{-\infty}^{1} e^{x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar se a integral imprópria \displaystyle \int_{-\infty}^{1} e^{x}\,dx é convergente ou divergente.
  • Se for convergente, calculá-la.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integranda é \,e^{x}\,.
  • A integral é imprópria porque o limite inferior do intervalo de integração é -\infty (intervalo ilimitado).
  • A função \,e^{x}\, é contínua para todo x\in\mathbb{R}, ou seja, não há problemas de descontinuidade no integrando; o único problema é a extremidade infinita.

Passo 2

Definição operacional de integral imprópria com limite infinito:
  • Para lidar com o limite infinito na integral, reescrevemos a integral como um limite de integrais próprias:
\int_{-\infty}^{1} e^{x}\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{1} e^{x}\,dx.
  • Assim, a convergência da integral imprópria é equivalente à existência (finita) desse limite.

Passo 3

Encontrar a primitiva (antiderivada) de \,e^{x}\,:
  • Lembrete: a derivada de \,e^{x}\, é \,e^{x}\, novamente, então a função é sua própria primitiva.
  • Portanto uma primitiva de \,e^{x}\, é
F(x)=e^{x}.
  • Aqui F'(x)=e^{x}, o que confirma que F é antiderivada de e^{x}.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral própria \displaystyle \int_{a}^{1} e^{x}\,dx:
  • Usando a primitiva F(x)=e^{x}, temos
\int_{a}^{1} e^{x}\,dx = F(1)-F(a) = e^{1}-e^{a}.

Passo 5

Calcular o limite quando a\to -\infty:
  • Preciso avaliar
\lim_{a\to -\infty} \bigl(e^{1}-e^{a}\bigr).
  • O termo e^{1} é constante; o que resta é avaliar \lim_{a\to -\infty} e^{a}.
  • Justificativa de que \lim_{a\to -\infty} e^{a}=0:
    • Pode-se escrever e^{a} = \dfrac{1}{e^{-a}}. Quando a\to -\infty, tem-se -a\to +\infty e, portanto, e^{-a}\to +\infty. Assim a fração \dfrac{1}{e^{-a}} tende a 0.
    • Intuitivamente, a função exponencial decai rapidamente para zero quando o expoente tende a -\infty.
  • Conclui-se então que
\lim_{a\to -\infty} \bigl(e^{1}-e^{a}\bigr) = e^{1}-0 = e.

Passo 6

Conclusão final sobre convergência e valor:
  • O limite da integral própria existe e é finito, logo a integral imprópria converge.
  • O valor da integral é \,e\, (onde \,e\approx 2{,}71828\ldots).

Resposta

Convergente, \displaystyle e

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