Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
\int_{-\infty}^{1} e^{x} d x
\int_{-\infty}^{1} e^{x} d x
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. - Se for convergente, calculá-la.
Informações dadas e observações iniciais:
- A função integranda é
. - A integral é imprópria porque o limite inferior do intervalo de integração é
(intervalo ilimitado). - A função
é contínua para todo , ou seja, não há problemas de descontinuidade no integrando; o único problema é a extremidade infinita.
Passo 2
Definição operacional de integral imprópria com limite infinito:
- Para lidar com o limite infinito na integral, reescrevemos a integral como um limite de integrais próprias:
- Assim, a convergência da integral imprópria é equivalente à existência (finita) desse limite.
Passo 3
Encontrar a primitiva (antiderivada) de
:
- Lembrete: a derivada de
é novamente, então a função é sua própria primitiva. - Portanto uma primitiva de
é
- Aqui
, o que confirma que é antiderivada de .
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral própria
:
- Usando a primitiva
, temos
Passo 5
Calcular o limite quando
:
- Preciso avaliar
- O termo
é constante; o que resta é avaliar . - Justificativa de que
: - Pode-se escrever
. Quando , tem-se e, portanto, . Assim a fração tende a . - Intuitivamente, a função exponencial decai rapidamente para zero quando o expoente tende a
.
- Pode-se escrever
- Conclui-se então que
Passo 6
Conclusão final sobre convergência e valor:
- O limite da integral própria existe e é finito, logo a integral imprópria converge.
- O valor da integral é
(onde ).
Resposta
Convergente,