Calcule
\lim _{x \rightarrow-1}\left(2 x^{2}+x-1\right) \cos \left(\frac{1}{x+1}\right).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando x tende a -1:
\lim_{x\to-1}\left(2x^{2}+x-1\right)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right).
Informações dadas:
  • A função é produto de um polinômio 2x^{2}+x-1 e da função \cos\!\left(\dfrac{1}{x+1}\right).
  • O ponto de interesse é x=-1, onde a expressão \dfrac{1}{x+1} explode (tende a infinito) e a função cosseno oscila.
  • O que se pede: o valor do limite.

Passo 2

Primeiro vamos estudar o polinômio multiplicando a cosseno. Fazendo fatoração simples:
2x^{2}+x-1=(x+1)(2x-1).
Portanto a expressão do limite pode ser reescrita como
\left(2x^{2}+x-1\right)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right)=(x+1)(2x-1)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right).

Passo 3

Observação importante sobre cada fator quando x\to-1:
  • (x+1) tende a 0.
  • (2x-1) tende a 2(-1)-1=-3, ou seja, tem limite finito (próximo a -3).
  • \cos\!\left(\dfrac{1}{x+1}\right) não tem limite porque seu argumento tende a infinito e o cosseno oscila, mas é sempre limitado entre -1 e 1.

Passo 4

Usamos a propriedade de que a função cosseno é limitada:
-1\le \cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right)\le 1.
Tomando valor absoluto do produto, obtemos
\left|(x+1)(2x-1)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right)\right|\le |x+1|\cdot|2x-1|\cdot 1 = |x+1|\cdot|2x-1|.

Passo 5

Como \lim_{x\to-1}|2x-1|=3, o fator |2x-1| é limitado perto de x=-1. Ou seja, existe uma constante M>0 tal que |2x-1|\le M para x suficientemente próximo de -1. Assim, para x perto de -1,
\left|(x+1)(2x-1)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right)\right|\le M\,|x+1|.
Como \lim_{x\to-1}M\,|x+1|=0, pela desigualdade acima o módulo da expressão tende a 0. Pelo Teorema do Sanduíche (squeeze theorem), o próprio produto tende a 0.

Passo 6

Interpretação e exemplo para fixar: este é o mesmo raciocínio do limite clássico \lim_{t\to0} t\sin\!\left(\dfrac{1}{t}\right)=0. Ali, \sin é limitada em [-1,1] e t\to0 anula o produto. Aqui funciona igual: um fator tende a 0 e o outro é bounded (limitado), então o produto tende a 0.

Resposta

0

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