Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função racional e pede um limite:
- Dado
. - Pede-se calcular
.
Passo 2
Ideia útil (explicação didática): quando
tende a
, os termos que têm
crescem em módulo muito mais rápido que os termos constantes. Por isso é comum “fatorar” ou dividir tudo pelo maior fator com
presente (aqui é
), para separar as partes que vão a zero das partes que ficam. Isso permite ver claramente o comportamento quando
.
Dividimos numerador e denominador por
(válido para
; ao tomar limite
vai para
, portanto estamos sempre com
):
Passo 3
Analisamos as parcelas que dependem de
. Quando
temos
. Logo
Explicação simples: se
vai para
, o módulo
cresce muito; então
e
ficam cada vez menores, tendendo a zero. (Formalmente, para qualquer
existe
grande tal que para
temos
.)
Aplicando esses limites na expressão do Passo 3:
Passo 4
Comentário prático (truque rápido para provas): para funções racionais onde o numerador e o denominador têm o mesmo grau (aqui ambos são grau
), o limite quando
é simplesmente a razão dos coeficientes dominantes (coeficiente de
). Aqui isso dá
. Exemplos rápidos:
e
.