Calcule
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x-4}{2 x-3}

Passo 1

O enunciado dá a função racional e pede um limite:
  • Dado \displaystyle \frac{5x-4}{2x-3}.
  • Pede-se calcular \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{5x-4}{2x-3}.

Passo 2

Ideia útil (explicação didática): quando x tende a -\infty, os termos que têm x crescem em módulo muito mais rápido que os termos constantes. Por isso é comum “fatorar” ou dividir tudo pelo maior fator com x presente (aqui é x), para separar as partes que vão a zero das partes que ficam. Isso permite ver claramente o comportamento quando x\to-\infty.
Dividimos numerador e denominador por x (válido para x\neq0; ao tomar limite x vai para -\infty, portanto estamos sempre com x\neq0):
\frac{5x-4}{2x-3} = \frac{x\left(5-\dfrac{4}{x}\right)}{x\left(2-\dfrac{3}{x}\right)} = \frac{5-\dfrac{4}{x}}{2-\dfrac{3}{x}}.

Passo 3

Analisamos as parcelas que dependem de \dfrac{1}{x}. Quando x\to-\infty temos \dfrac{1}{x}\to 0. Logo
\lim_{x\to-\infty}\frac{4}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{3}{x}=0.
Explicação simples: se x vai para -\infty, o módulo |x| cresce muito; então \dfrac{4}{|x|} e \dfrac{3}{|x|} ficam cada vez menores, tendendo a zero. (Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 existe M grande tal que para |x|>M temos |4/x|<\varepsilon.)
Aplicando esses limites na expressão do Passo 3:
\lim_{x\to-\infty}\frac{5-\dfrac{4}{x}}{2-\dfrac{3}{x}} = \frac{5-0}{2-0} = \frac{5}{2}.

Passo 4

Comentário prático (truque rápido para provas): para funções racionais onde o numerador e o denominador têm o mesmo grau (aqui ambos são grau 1), o limite quando x\to\pm\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dominantes (coeficiente de x). Aqui isso dá \dfrac{5}{2}. Exemplos rápidos: \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x+1}{x-7}=3 e \lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+1}{5x^2-4}=\dfrac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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