Calcule
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{3}-x^{2}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor de \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{2x^{3} - x^{2} - 1}{x - 1}.
O conteúdo envolvido é limite de função racional que, ao substituir x=1, dá a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, podemos usar fatoração do polinômio pelo fator x-1.

Passo 2

Verificamos diretamente que, ao substituir x=1, numerador e denominador se anulam:
2\cdot1^{3} - 1^{2} - 1 = 2 - 1 - 1 = 0, \quad 1 - 1 = 0,
portanto temos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Como x=1 é raiz do polinômio 2x^{3} - x^{2} - 1, dividimos esse polinômio por x-1. Usando divisão sintética ou polinomial:
coeficientes de 2x^{3} - x^{2} + 0x - 1 são 2,\,-1,\,0,\,-1. Pela divisão sintética com x=1 obtemos o quociente
2x^{2} + x + 1.
Logo
2x^{3} - x^{2} - 1 = (x - 1)\,(2x^{2} + x + 1).

Passo 4

Substituindo na expressão original, para x\neq1:
\frac{2x^{3} - x^{2} - 1}{x - 1} = 2x^{2} + x + 1.
Portanto, o limite é
\lim_{x \to 1}(2x^{2} + x + 1) = 2\cdot1^{2} + 1 + 1 = 4.

Resposta

4

Exercícios relacionados