Resolva as integrais
\int \frac{\cos (t)}{\left(-\operatorname{sen}^{2}(t)\right)} d t

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada indefinida de \displaystyle \int \frac{\cos(t)}{-\sin^{2}(t)}\,dt.
O conteúdo principal é usar substituição, reconhecendo que a derivada de \sin(t) é \cos(t).

Passo 2

Reescrevendo o integrando, extraímos o sinal negativo e a potência negativa:
\int \frac{\cos(t)}{-\sin^{2}(t)}\,dt = -\int \cos(t)\,\sin^{-2}(t)\,dt.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \sin(t), \quad du = \cos(t)\,dt.
Assim, a integral fica
-\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Para n\neq -1, vale \displaystyle \int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=-2, então
-\int u^{-2}\,du = -\frac{u^{-1}}{-1} + C = u^{-1} + C.

Passo 5

Voltando à variável t, temos u=\sin(t) e u^{-1} = 1/u, logo
u^{-1} + C = \frac{1}{\sin(t)} + C = \csc(t) + C.

Resposta

\csc(t) + C

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