Calcule
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{4}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4}}{x - 2}.
O conteúdo é limite de função com indeterminação do tipo 0/0. Vamos usar manipulação algébrica: juntar frações, fatorar e cancelar o fator que anula o denominador.

Passo 2

Juntamos as frações do numerador num denominador comum:
\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4} = \frac{4 - x^{2}}{4\,x^{2}} = \frac{-(x^{2} - 4)}{4\,x^{2}}.

Passo 3

Substituímos no quociente e fatoramos x^{2}-4=(x-2)(x+2):
\frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4}}{x-2} = \frac{-(x^{2} - 4)}{4\,x^{2}\,(x-2)} = \frac{-(x-2)(x+2)}{4\,x^{2}\,(x-2)} = -\frac{x+2}{4\,x^{2}},
válido para x\neq2, eliminando a indeterminação.

Passo 4

Agora calculamos o limite de -\frac{x+2}{4\,x^{2}} quando x\to2:
\lim_{x\to2}\Bigl(-\frac{x+2}{4\,x^{2}}\Bigr) = -\frac{2 + 2}{4 \cdot 2^{2}} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}.

Resposta

-\frac{1}{4}

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