Calcule:
\lim _{x \rightarrow-1^{-}} \frac{5 x-1}{2-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x se aproxima de -1 pela esquerda:
\lim_{x\to -1^{-}} \frac{5x-1}{2-x}.
Informações dadas:
  • A função envolvida é a razão de dois polinômios: o numerador é 5x-1 e o denominador é 2-x.
  • O ponto de aproximação é x=-1, e o limite é considerado pela esquerda (valores de x menores que -1).

Passo 2

Conceito importante (explicado de forma simples): se uma função é bem definida num ponto (ou seja, o valor da função existe) e não tem problema de divisão por zero ali, então a função é contínua naquele ponto e o limite quando x tende para esse ponto é simplesmente o valor da função no ponto. Em palavras: quando não há indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} ou divisão por zero no ponto, pode-se calcular o limite substituindo x pelo ponto.
O que significa isso aqui:
  • A função é uma função racional f(x)=\dfrac{5x-1}{2-x}.
  • Para aplicar a substituição direta, precisamos verificar se o denominador em x=-1 é diferente de zero.

Passo 3

Verificação do denominador em x=-1:
2-(-1)=2+1=3.
Como 3\neq 0, não há divisão por zero no ponto x=-1. Portanto a função está bem definida em x=-1 e é contínua ali; o limite lateral pela esquerda coincide com o valor da função em x=-1.

Passo 4

Aplicando substituição direta para obter o valor da função em x=-1:
Calcular o numerador em x=-1:
5(-1)-1=-5-1=-6.
Calcular o denominador em x=-1:
2-(-1)=3.
Formar a razão:
\frac{5(-1)-1}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2.

Passo 5

Checagem numérica rápida (intuição): pegando x um pouco menor que -1, por exemplo x=-1{,}1,
\frac{5(-1{,}1)-1}{2-(-1{,}1)}=\frac{-6{,}5}{3{,}1}\approx -2{,}0968,
e para x=-1{,}01,
\frac{5(-1{,}01)-1}{2-(-1{,}01)}=\frac{-6{,}05}{3{,}01}\approx -2{,}00997.
Esses valores se aproximam de -2, confirmando o resultado.

Resposta

-2

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