Calcule:
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x-1}{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular \displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x-1}{x}.
  • A função envolvida é f(x)=\dfrac{x-1}{x}.
  • A aproximação é unidirecional: x tende para 2 vindo pela esquerda (valores menores que 2).
  • Informação útil que já temos: o denominador é x, então x\neq 0 é ponto onde a função não está definida.

Passo 2

Entendendo o que significa \displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x-1}{x}:
  • Limite unilateral pela esquerda ( 2^{-}) significa: consideramos valores de x que se aproximam de 2 com x<2, e observamos o comportamento da função quando x se aproxima cada vez mais de 2.
  • Se a função não apresentar comportamento problemático (como divisão por zero, assíntotas, saltos) ao se aproximar de 2 pela esquerda, o limite existe e será o mesmo que o valor da função em 2, caso a função seja definida e contínua em 2.

Passo 3

Analisar a função perto de x=2:
  • A função é racional \dfrac{x-1}{x}. Relembre: uma função racional é quociente de polinômios e é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero.
  • Aqui o denominador em x=2 vale 2, ou seja, é diferente de zero. Portanto não há problema de definição ou descontinuidade em x=2.
  • Logo, a função é contínua em x=2 e podemos aplicar a regra de continuidade: o limite quando x\to 2 (pela esquerda ou pela direita) é igual ao valor da função em 2.

Passo 4

Calcular o valor da função em x=2 por substituição direta:
f(2)=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}.
Explicando a conta: 2-1=1 e dividir por 2 \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Conclusão: como a função é contínua em x=2, o limite unilateral pela esquerda vale o mesmo que f(2). Portanto o limite pedido é \tfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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