Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações importantes dadas:
- A função considerada é a razão
. - O ponto onde se toma o limite é
. - Não há outras informações externas (como imagem ou tabela).
Passo 2
Primeiro tentativa: substituição direta de
para ver se o limite é obtido facilmente. Calcular numerador e denominador em
:
Logo a forma é
, que é uma indeterminação. Isso indica que não podemos apenas substituir: é preciso simplificar a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 3
Explicação didática rápida: quando uma expressão racional dá
ao substituir, normalmente existe um fator comum no numerador e denominador que anula a indeterminação. O procedimento padrão é fatorar numerador e denominador e cancelar o fator comum (válido para
), então avaliar o limite da expressão simplificada.
Vamos factorar ambos os polinômios. Para fatorar o numerador
calculo as raízes pela fórmula quadrática:
As raízes são
e
. Portanto o numerador fatorado é
Para o denominador
as raízes são:
ou seja
e
. Logo o denominador fatorado é
Passo 4
Agora escrevemos a razão com os fatores e cancelamos o fator comum
(válido para
):
Como o limite
depende do comportamento quando
se aproxima de
(e não do valor no próprio
), podemos usar a expressão simplificada
para calcular o limite.
Passo 5
A expressão simplificada
é contínua no ponto
(denominador diferente de zero), então basta substituir
: