Calcule \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^{2}-3 x-2}{x^{2}-x-2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 2} \frac{2x^{2}-3x-2}{x^{2}-x-2}.
Informações importantes dadas:
  • A função considerada é a razão \dfrac{2x^{2}-3x-2}{x^{2}-x-2}.
  • O ponto onde se toma o limite é x=2.
  • Não há outras informações externas (como imagem ou tabela).

Passo 2

Primeiro tentativa: substituição direta de x=2 para ver se o limite é obtido facilmente. Calcular numerador e denominador em x=2:
2\cdot 2^{2}-3\cdot 2-2 = 2\cdot4-6-2 = 8-6-2 = 0,
2^{2}-2-2 = 4-2-2 = 0.
Logo a forma é \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso indica que não podemos apenas substituir: é preciso simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Explicação didática rápida: quando uma expressão racional dá 0/0 ao substituir, normalmente existe um fator comum no numerador e denominador que anula a indeterminação. O procedimento padrão é fatorar numerador e denominador e cancelar o fator comum (válido para x\neq 2), então avaliar o limite da expressão simplificada.
Vamos factorar ambos os polinômios. Para fatorar o numerador 2x^{2}-3x-2 calculo as raízes pela fórmula quadrática:
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,
x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{3\pm 5}{4}.
As raízes são x=2 e x=-\tfrac{1}{2}. Portanto o numerador fatorado é
2x^{2}-3x-2=(2x+1)(x-2).
Para o denominador x^{2}-x-2 as raízes são:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9,
x=\frac{1\pm 3}{2},
ou seja x=2 e x=-1. Logo o denominador fatorado é
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).

Passo 4

Agora escrevemos a razão com os fatores e cancelamos o fator comum (x-2) (válido para x\neq 2):
\frac{2x^{2}-3x-2}{x^{2}-x-2}=\frac{(2x+1)(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{2x+1}{x+1},\qquad (x\neq 2).
Como o limite \lim_{x\to 2} depende do comportamento quando x se aproxima de 2 (e não do valor no próprio x=2), podemos usar a expressão simplificada \dfrac{2x+1}{x+1} para calcular o limite.

Passo 5

A expressão simplificada \dfrac{2x+1}{x+1} é contínua no ponto x=2 (denominador diferente de zero), então basta substituir x=2:
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x+1}{x+1}=\frac{2\cdot 2+1}{2+1}=\frac{5}{3}.

Resposta

\dfrac{5}{3}

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