Encontre os pontos que pertencem, simultaneamente, aos gráficos das funções f(x)=2 x+8 e g(x)=x^{2}+2 x-1.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede os pontos que pertencem simultaneamente aos seus gráficos. Dados fornecidos:
  • f(x)=2x+8.
  • g(x)=x^{2}+2x-1.
O que se pede: encontrar os pontos (x,y) tais que a mesma ordenada y é dada por ambas as funções para o mesmo x. Em outras palavras, encontrar todas as soluções do sistema
y=f(x) \qquad\text{e}\qquad y=g(x),
ou equivalentemente todas as x que satisfazem
f(x)=g(x).

Passo 2

Escrevendo a igualdade f(x)=g(x) com as expressões fornecidas:
2x+8 = x^{2}+2x-1.
Esta é a equação que vamos resolver para encontrar os valores de x onde as duas funções têm a mesma ordenada.

Passo 3

Simplificar a equação juntando termos semelhantes. Subtrai-se 2x+8 dos dois lados:
2x+8 -(2x+8) = x^{2}+2x-1 -(2x+8).
No lado esquerdo sobra 0. No direito, os 2x se cancelam e obtemos:
0 = x^{2} -1 -8,
ou seja
0 = x^{2} -9.
Reescrevendo em forma padrão:
x^{2}-9=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática x^{2}-9=0.
Método 1 — fatoração (diferença de quadrados):
x^{2}-9 = x^{2}-3^{2} = (x-3)(x+3).
A produto nulo implica que pelo menos um dos fatores é zero, logo
x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3,
ou
x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3.
Observação (fórmula quadrática, para lembrar): para uma equação ax^{2}+bx+c=0 as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da equação. Aqui a=1, b=0, c=-9, o discriminante é b^{2}-4ac=0^{2}-4\cdot1\cdot(-9)=36 e a fórmula também dá x=\pm3, confirmando a fatoração.

Passo 5

Agora encontramos as ordenadas y correspondentes a cada x usando f(x) (poderia usar g(x), as duas dão o mesmo resultado).
Para x=3:
y=f(3)=2\cdot 3 + 8 = 6 + 8 = 14.
Verificação com g:
g(3)=3^{2}+2\cdot 3 -1 = 9 + 6 -1 = 14,
concorda.
Para x=-3:
y=f(-3)=2\cdot(-3) + 8 = -6 + 8 = 2.
Verificação com g:
g(-3)=(-3)^{2}+2\cdot(-3)-1 = 9 -6 -1 = 2,
concorda.

Passo 6

Portanto os pontos de interseção (pontos que pertencem simultaneamente aos dois gráficos) são os pares ordenados (3,14) e (-3,2).

Resposta

(3,14)
(-3,2)

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