Encontre os pontos que pertencem, simultaneamente, aos gráficos das funções
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede os pontos que pertencem simultaneamente aos seus gráficos. Dados fornecidos:
-
. -
.
O que se pede: encontrar os pontos
tais que a mesma ordenada
é dada por ambas as funções para o mesmo
. Em outras palavras, encontrar todas as soluções do sistema
ou equivalentemente todas as
que satisfazem
Passo 2
Escrevendo a igualdade
com as expressões fornecidas:
Esta é a equação que vamos resolver para encontrar os valores de
onde as duas funções têm a mesma ordenada.
Passo 3
Simplificar a equação juntando termos semelhantes. Subtrai-se
dos dois lados:
No lado esquerdo sobra
. No direito, os
se cancelam e obtemos:
ou seja
Reescrevendo em forma padrão:
Passo 4
Resolver a equação quadrática
.
Método 1 — fatoração (diferença de quadrados):
A produto nulo implica que pelo menos um dos fatores é zero, logo
ou
Observação (fórmula quadrática, para lembrar): para uma equação
as raízes são
onde
,
e
são os coeficientes da equação. Aqui
,
,
, o discriminante é
e a fórmula também dá
, confirmando a fatoração.
Passo 5
Agora encontramos as ordenadas
correspondentes a cada
usando
(poderia usar
, as duas dão o mesmo resultado).
Para
:
Verificação com
:
concorda.
Para
:
Verificação com
:
concorda.
Passo 6
Portanto os pontos de interseção (pontos que pertencem simultaneamente aos dois gráficos) são os pares ordenados
e
.