Qual é o domínio da função
? Encontre uma fórmula para a inversa de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função
definida por . - Encontrar uma fórmula para a inversa de
(ou seja, ).
Informações dadas:
- A função é composta por duas raízes quadradas aninhadas: uma raiz interna
e uma raiz externa . - Não há outras restrições explícitas além da definição dada.
Passo 2
Entendendo restrições de raízes quadradas (revisão didática):
- A expressão
está definida (no conjunto dos reais) somente quando . - Para uma expressão com raiz dentro de raiz, cada radicando precisa satisfazer sua própria desigualdade.
Aplicando ao caso: para
estar definida precisamos de
Isso vem do fato básico de que a raiz quadrada real não aceita argumento negativo.
Passo 3
Agora impomos a condição para a raiz externa
. O radicando da raiz externa deve ser não negativo:
Isto significa
Como
é não negativa, podemos elevar ambos os lados ao quadrado (preservando a desigualdade porque ambos os lados são
):
Passo 4
Combinação das duas condições (passos anteriores):
- De
ter sentido: . - De
ter sentido: .
Logo o domínio de
é o intervalo fechado
Também vale notar (útil para a inversa) que ao variar
em
temos
, então
e portanto
Isso descreve a imagem (contraparte da inversa): o contradomínio efetivo é
.
Passo 5
Verificar que
é injetora (um-para-um), condição necessária para existir inversa:
- Se
em então . - Então
. - Tomando raiz positiva,
.
Ou seja,é estritamente decrescente em , logo injetora. Assim existe inversa definida da imagem para o domínio .
Passo 6
Encontrando a inversa (método padrão: trocar papéis e resolver):
- Começamos escrevendo
:
- Queremos escrever
em função de . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado (lembrando que porque é uma raiz):
- Isolamos
:
Note que o lado direito deve ser
; isso concorda com
porque então
e
.
- Agora elevamos novamente ao quadrado para obter
:
Passo 7
Interpretação final e domínio da inversa:
- A inversa
toma um valor da imagem e retorna . - Se quisermos escrever a inversa como função da variável usual
, podemos renomear a variável de entrada por (cuidando do domínio): para ,
- Verificação rápida (cheque de consistência): para
tem-se , então . Compondo obtemos , e compondo obtemos para . Assim a fórmula está correta sem soluções espúrias.
Resposta
Domínio:
Inversa:
Inversa: