Qual é o domínio da função f(x)=\sqrt{2-\sqrt{x}} ? Encontre uma fórmula para a inversa de f.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função f definida por f(x)=\sqrt{2-\sqrt{x}}.
  • Encontrar uma fórmula para a inversa de f (ou seja, f^{-1}).
Informações dadas:
  • A função é composta por duas raízes quadradas aninhadas: uma raiz interna \sqrt{x} e uma raiz externa \sqrt{\,2-\sqrt{x}\,}.
  • Não há outras restrições explícitas além da definição dada.

Passo 2

Entendendo restrições de raízes quadradas (revisão didática):
  • A expressão \sqrt{A} está definida (no conjunto dos reais) somente quando A\ge 0.
  • Para uma expressão com raiz dentro de raiz, cada radicando precisa satisfazer sua própria desigualdade.
Aplicando ao caso: para \sqrt{x} estar definida precisamos de
x\ge 0.
Isso vem do fato básico de que a raiz quadrada real não aceita argumento negativo.

Passo 3

Agora impomos a condição para a raiz externa \sqrt{2-\sqrt{x}}. O radicando da raiz externa deve ser não negativo:
2-\sqrt{x}\ge 0.
Isto significa
\sqrt{x}\le 2.
Como \sqrt{x} é não negativa, podemos elevar ambos os lados ao quadrado (preservando a desigualdade porque ambos os lados são \ge0):
x \le 4.

Passo 4

Combinação das duas condições (passos anteriores):
  • De \sqrt{x} ter sentido: x\ge 0.
  • De \sqrt{2-\sqrt{x}} ter sentido: x\le 4.
Logo o domínio de f é o intervalo fechado
[0,4].
Também vale notar (útil para a inversa) que ao variar x em [0,4] temos \sqrt{x}\in[0,2], então 2-\sqrt{x}\in[0,2] e portanto
f(x)=\sqrt{2-\sqrt{x}}\in\bigl[0,\sqrt{2}\bigr].
Isso descreve a imagem (contraparte da inversa): o contradomínio efetivo é [0,\sqrt{2}].

Passo 5

Verificar que f é injetora (um-para-um), condição necessária para existir inversa:
  • Se x_1<x_2 em [0,4] então \sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}.
  • Então 2-\sqrt{x_1}>2-\sqrt{x_2}.
  • Tomando raiz positiva, \sqrt{2-\sqrt{x_1}}>\sqrt{2-\sqrt{x_2}}.
    Ou seja, f é estritamente decrescente em [0,4], logo injetora. Assim existe inversa definida da imagem [0,\sqrt{2}] para o domínio [0,4].

Passo 6

Encontrando a inversa (método padrão: trocar papéis e resolver):
  • Começamos escrevendo y=f(x):
y=\sqrt{2-\sqrt{x}}.
  • Queremos escrever x em função de y. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado (lembrando que y\ge 0 porque é uma raiz):
y^2=2-\sqrt{x}.
  • Isolamos \sqrt{x}:
\sqrt{x}=2-y^2.
Note que o lado direito deve ser \ge 0; isso concorda com y\in[0,\sqrt{2}] porque então y^2\le 2 e 2-y^2\ge0.
  • Agora elevamos novamente ao quadrado para obter x:
x=(2-y^2)^2.

Passo 7

Interpretação final e domínio da inversa:
  • A inversa f^{-1} toma um valor y da imagem [0,\sqrt{2}] e retorna x=(2-y^2)^2.
  • Se quisermos escrever a inversa como função da variável usual x, podemos renomear a variável de entrada por x (cuidando do domínio): para x\in[0,\sqrt{2}],
f^{-1}(x)=(2-x^2)^2.
  • Verificação rápida (cheque de consistência): para x\in[0,\sqrt{2}] tem-se 2-x^2\ge0, então \sqrt{(2-x^2)^2}=2-x^2. Compondo f(f^{-1}(x)) obtemos x, e compondo f^{-1}(f(x)) obtemos x para x\in[0,4]. Assim a fórmula está correta sem soluções espúrias.

Resposta

Domínio: [0,4]
Inversa: f^{-1}(x)=(2-x^2)^2,\quad x\in[0,\sqrt{2}]

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