Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão original não está definida em
porque o denominador vira zero aí. - Se substituíssemos
diretamente, obteríamos a forma , que é uma indeterminação. Então precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 2
Escolha do método: a maneira mais simples aqui é usar fatoração algébrica (método básico e rápido para esse tipo de indeterminação). Isso evita regras mais avançadas como a regra de L’Hôpital e é exatamente o que se espera em prova: reconhecer e fatorar uma diferença de cubos.
Explicação do conceito usado (diferença de cubos):
Para quaisquer números e
vale a identidade
Para quaisquer números
Essa identidade é uma fórmula algébrica padrão; agora vamos aplicá‑la com
e
.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
:
Verificação rápida (expandindo o lado direito) para ficar seguro:
portanto a fatoração está correta.
Passo 4
Substituindo a fatoração na expressão do limite:
Para
podemos cancelar o fator
no numerador e denominador, obtendo a igualdade (para
próximos de
, mas não iguais a
):
Observação sobre validade: como o limite considera valores de
que se aproximam de
mas não necessariamente igualam a
, essa simplificação é legítima para calcular o limite.
Passo 5
Agora usamos a propriedade de continuidade dos polinômios: o polinômio
é contínuo em
, então o limite quando
é simplesmente o valor do polinômio em
. Calculando:
Obs.: alternativa (quando lembrar): poderia também aplicar a regra de L’Hôpital porque tínhamos a forma indeterminada
; derivando numerador e denominador obtemos
e avaliando em
dá também
.
Resposta
3