Calcule:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 1:
\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão original não está definida em x=1 porque o denominador vira zero aí.
  • Se substituíssemos x=1 diretamente, obteríamos a forma \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Então precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Escolha do método: a maneira mais simples aqui é usar fatoração algébrica (método básico e rápido para esse tipo de indeterminação). Isso evita regras mais avançadas como a regra de L’Hôpital e é exatamente o que se espera em prova: reconhecer e fatorar uma diferença de cubos.
Explicação do conceito usado (diferença de cubos):
Para quaisquer números a e b vale a identidade
a^{3}-b^{3}=(a-b)\,(a^{2}+ab+b^{2}).
Essa identidade é uma fórmula algébrica padrão; agora vamos aplicá‑la com a=x e b=1.

Passo 3

Aplicando a identidade com a=x e b=1:
x^{3}-1=(x-1)\,(x^{2}+x+1).
Verificação rápida (expandindo o lado direito) para ficar seguro:
(x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}+x^{2}+x - x^{2}-x-1 = x^{3}-1,
portanto a fatoração está correta.

Passo 4

Substituindo a fatoração na expressão do limite:
\frac{x^{3}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}.
Para x\neq 1 podemos cancelar o fator (x-1) no numerador e denominador, obtendo a igualdade (para x próximos de 1, mas não iguais a 1):
\frac{x^{3}-1}{x-1}=x^{2}+x+1\qquad (x\neq 1).
Observação sobre validade: como o limite considera valores de x que se aproximam de 1 mas não necessariamente igualam a 1, essa simplificação é legítima para calcular o limite.

Passo 5

Agora usamos a propriedade de continuidade dos polinômios: o polinômio x^{2}+x+1 é contínuo em x=1, então o limite quando x\to 1 é simplesmente o valor do polinômio em 1. Calculando:
\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1} (x^{2}+x+1)=1^{2}+1+1=3.
Obs.: alternativa (quando lembrar): poderia também aplicar a regra de L’Hôpital porque tínhamos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}; derivando numerador e denominador obtemos \tfrac{3x^{2}}{1} e avaliando em x=1 dá também 3.

Resposta

3

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