Calcule:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}.
Informações dadas:
  • A função cuja expressão aparece no quociente é \dfrac{x^{2}-4}{x-2}.
  • Queremos o valor do limite quando x se aproxima de \,2.

Passo 2

Vamos olhar para o numerador \,x^{2}-4. Aqui aparece uma diferença de quadrados. Lembrete rápido sobre a fatoração:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer números ou expressões. Aplicando com a=x e b=2 obtemos a fatoração do numerador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 3

Substituindo a fatoração na expressão do limite temos, para x\neq2,
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
Como x\neq2 ao simplificarmos a expressão (estamos analisando x próximos de 2, não necessariamente igual a 2), podemos cancelar o fator (x-2), ficando com a função equivalente
x+2 \quad \text{para } x\neq2.

Passo 4

Agora use a ideia básica de limite: se duas funções coincidem em todos os pontos de uma vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), elas têm o mesmo limite naquele ponto. Como a expressão original coincide com x+2 para todo x próximo de 2 (exceto em x=2 onde a original não está definida), o limite quando x\to2 é igual ao limite de x+2 quando x\to2. Como x+2 é uma função polinomial contínua, o limite é obtido por substituição direta.
Substituindo x=2 na expressão simplificada (x+2) obtemos o valor numérico do limite.

Resposta

4

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