Determine:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se calcular \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x}.
  • A expressão envolve as funções trigonométricas \tan e \sin,\cos (pois \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}).
  • Queremos o limite quando x tende a \,0 (duas direções: pela direita e pela esquerda). No fim devemos obter um número real.

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): ideias que vamos usar e por quê.
  • Vou provar primeiro que \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 usando uma desigualdade geométrica clássica (squeeze theorem). Essa é uma etapa padrão e simples de entender geometricamente.
  • Depois uso a identidade \displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} para escrever
\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x},
e então uso limites conhecidos/continuidades para obter o resultado final.
  • Também vou explicar por que a prova vale para x\to 0 tanto pela direita quanto pela esquerda (simetria/oddness das funções).

Passo 3

Prova geométrica da desigualdade \sin x < x < \tan x para 0<x<\dfrac{\pi}{2}.
  • Considere o círculo de raio 1 centrado em O. Tome o ponto A=(1,0) e o ponto B=(\cos x,\sin x) com 0<x<\dfrac{\pi}{2}. Desenhe o setor circular AOB, o triângulo OAB (formado pelos raios OA e OB e o corda AB) e o triângulo formado pelo raio OA, a reta tangente ao círculo em A e a linha que passa por B perpendicular a OA. Nesse desenho vale que o triângulo OAB está contido no setor AOB que por sua vez está contido no triângulo externo formado com a tangente.
  • Calcule as áreas (todas as áreas são positivas e comparáveis porque uma figura está contida na outra):
    • Área do triângulo OAB: como OA=OB=1 e o ângulo entre eles é x,
    \text{area}(OAB)=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot\sin x=\frac{1}{2}\sin x.
    • Área do setor AOB: para raio 1 e ângulo x em radianos,
    \text{area}(AOB)=\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot x=\frac{1}{2}x.
    • Área do triângulo externo (usando a tangente): a base é OA=1 e a altura é \tan x, logo
    \text{area}(\text{triângulo externo})=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \tan x=\frac{1}{2}\tan x.â
  • Como o triângulo interno está contido no setor e este está contido no triângulo externo, temos as desigualdades de áreas
\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x.
Multiplicando tudo por 2 obtemos a desigualdade desejada
\sin x < x < \tan x\qquad\text{para }0<x<\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Transformar a desigualdade para usar o Squeeze Theorem e obter \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
  • Começando de \sin x < x < \tan x com 0<x<\dfrac{\pi}{2}, divida toda a desigualdade por \sin x (positivo nesse intervalo):
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
  • Invertendo os termos (tomando reciprocais) e lembrando que inverter uma cadeia de desigualdades muda a direção das desigualdades porque todos os termos são positivos, obtemos
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1\qquad\text{para }0<x<\frac{\pi}{2}.
  • Agora aplique o Teorema do Aperto (squeeze theorem). Sabemos que
\lim_{x\to 0^+}\cos x = 1
e a função constante 1 tem limite 1. Assim, pela desigualdade
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1
temos
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1.
  • Para a aproximação pela esquerda ( x\to 0^-) usamos a paridade: \sin é função ímpar, então \dfrac{\sin(-x)}{-x}=\dfrac{\sin x}{x}. Logo o limite pela esquerda é o mesmo que pela direita. Concluímos então que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 5

Passo final: relacionar \dfrac{\tan x}{x} com \dfrac{\sin x}{x} e concluir o limite pedido.
  • Use a identidade \displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}. Então
\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}.
  • Já provamos que \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. Além disso \displaystyle \lim_{x\to 0}\cos x=1, e como \cos x não é zero perto de 0 podemos afirmar também que \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}=1.
  • Pelo teorema do produto de limites (ou pela continuidade das funções envolvidas), o limite do produto é o produto dos limites. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\right)=1\cdot 1=1.

Resposta

1

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