Determine:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se calcular
. - A expressão envolve as funções trigonométricas
e (pois ). - Queremos o limite quando
tende a (duas direções: pela direita e pela esquerda). No fim devemos obter um número real.
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): ideias que vamos usar e por quê.
- Vou provar primeiro que
usando uma desigualdade geométrica clássica (squeeze theorem). Essa é uma etapa padrão e simples de entender geometricamente. - Depois uso a identidade
para escrever
e então uso limites conhecidos/continuidades para obter o resultado final.
- Também vou explicar por que a prova vale para
tanto pela direita quanto pela esquerda (simetria/oddness das funções).
Passo 3
Prova geométrica da desigualdade
para
.
-
Considere o círculo de raio
centrado em . Tome o ponto e o ponto com . Desenhe o setor circular , o triângulo (formado pelos raios e e o corda ) e o triângulo formado pelo raio , a reta tangente ao círculo em e a linha que passa por perpendicular a . Nesse desenho vale que o triângulo está contido no setor que por sua vez está contido no triângulo externo formado com a tangente. -
Calcule as áreas (todas as áreas são positivas e comparáveis porque uma figura está contida na outra):
- Área do triângulo
: como e o ângulo entre eles é ,
- Área do setor
: para raio e ângulo em radianos,
- Área do triângulo externo (usando a tangente): a base é
e a altura é , logo
- Área do triângulo
-
Como o triângulo interno está contido no setor e este está contido no triângulo externo, temos as desigualdades de áreas
Multiplicando tudo por
obtemos a desigualdade desejada
Passo 4
Transformar a desigualdade para usar o Squeeze Theorem e obter
.
- Começando de
com , divida toda a desigualdade por (positivo nesse intervalo):
- Invertendo os termos (tomando reciprocais) e lembrando que inverter uma cadeia de desigualdades muda a direção das desigualdades porque todos os termos são positivos, obtemos
- Agora aplique o Teorema do Aperto (squeeze theorem). Sabemos que
e a função constante
tem limite
. Assim, pela desigualdade
temos
- Para a aproximação pela esquerda (
) usamos a paridade: é função ímpar, então . Logo o limite pela esquerda é o mesmo que pela direita. Concluímos então que
Passo 5
Passo final: relacionar
com
e concluir o limite pedido.
- Use a identidade
. Então
- Já provamos que
. Além disso , e como não é zero perto de podemos afirmar também que . - Pelo teorema do produto de limites (ou pela continuidade das funções envolvidas), o limite do produto é o produto dos limites. Portanto